什么是四分位数

四分位数也称四分位点，是指在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值。

四分位数多应用于统计学中的箱线图绘制。它是一组数据排序后处于25%和75%位置上的值。四分位数是通过3个点将全部数据等分为4部分，其中每部分包含25%的数据。

很显然，中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指处在25%位置上的数值（称为下四分位数）和处在75%位置上的数值（称为上四分位数）。

与中位数的计算方法类似，根据未分组数据计算四分位数时，首先对数据进行排序，然后确定四分位数所在的位置，该位置上的数值就是四分位数。

与中位数不同的是，四分位数位置的确定方法有几种，每种方法得到的结果会有一定差异，但差异不会很大。

分位数是将总体的全部数据按大小顺序排列后，处于各等分位置的变量值。如果将全部数据分成相等的两部分，它就是中位数；如果分成四等分，就是四分位数；八等分就是八分位数等。四分位数也称为四分位点，它是将全部数据分成相等的四部分，其中每部分包括25%的数据，处在各分位点的数值就是四分位数。四分位数有三个，第一个四分位数就是通常所说的四分位数，称为下四分位数，第二个四分位数就是中位数，第三个四分位数称为上四分位数，分别用Q1、Q2、Q3表示。四分位数作为分位数的一种形式，在统计中有着十分重要的作用和意义，现就四分位数的计算做一详细阐述。

一、资料未分组四分位数计算

第一步：确定四分位数的位置。Qi 所在的位置=i（n+1）/4，其中i=1，2，3。n表示资料项数。

第二步：根据第一步四分位数的位置，计算相应四分位数。

例1：某数学补习小组11人年龄（岁）为：17，19，22，24，25，

28，34，35，36，37，38。则三个四分位数的位置分别为：

Q1所在的位置=（11+1）/4=3，Q2所在的位置=2（11+1）/4=6，Q3所在的位置=3（11+1）/4=9。

变量中的第三个、第六个和第九个人的岁数分别为下四分位数、中位数和上四分位数，即：

Q1=22（岁）、Q2=28（岁）、Q3=36（岁）

我们不难发现，在上例中（n+1）恰好是4的整数倍，但在很多实际工作中不一定都是整数倍。这样四分位数的位置就带有小数，需要进一步研究。带有小数的位置与位置前后标志值有一定的关系：四分位数是与该小数相邻的两个整数位置上的标志值的平均数，权数的大小取决于两个整数位置的远近，距离越近，权数越大，距离越远，权数越小，权数之和应等于1。

例2：设有一组经过排序的数据为12，15，17，19，20，23，25，

28，30，33，34，35，36，37，则三个四分位数的位置分别为：

Q1所在的位置=（14+1）/4=3.75，Q2所在的位置=2（14+1）/4=7.5，Q3所在的位置=3（14+1）/4=11.25。

变量中的第3.75项、第7.5项和第11.25项分别为下四分位数、中位数和上四分位数，即：

Q1=0.25×第三项+0.75×第四项=0.25×17+0.75×19=18.5；

Q2=0.5×第七项+0.5×第八项=0.5×25+0.5×28=26.5；

Q3=0.75×第十一项+0.25×第十二项=0.75×34+0.25×35=34.25。

二、资料已整理分组的组距式数列四分位数计算

第一步：向上或向下累计次数（因篇幅限制，以下均采取向上累计次数方式计算）；

第二步：根据累计次数确定四分位数的位置：

Q1的位置 = （∑f+1）/4，Q2的位置 = 2（∑f +1）/4，Q3的位置 = 3（∑f +1）/4

式中：∑f表示资料的总次数；

第三步：根据四分位数的位置计算各四分位数（向上累计次数，按照下限公式计算四分位数）：

Qi=Li+■×di

式中：Li——Qi所在组的下限，fi——Qi所在组的次数，di——Qi所在组的组距；Qi-1——Qi所在组以前一组的累积次数，∑f——总次数。

例3：某企业工人日产量的分组资料如下：

根据上述资料确定四分位数步骤如下：

（1）向上累计方式获得四分位数位置：

Q1的位置=（∑f +1）/4=（164+1）/4=41.25

Q2的位置=2（∑f +1）/4=2（164+1）/4=82.5

Q3的位置=3（∑f +1）/4=3（164+1）/4=123.75

（2）可知Q1，Q2，Q3分别位于向上累计工人数的第三组、第四组和第五组，日产量四分位数具体为：

Q1=L1+■×d1=70+■×10=72.49（千克）

Q2=L2+■×d2=80+■×10=80.83（千克）

Q3=L3+■×d3=90+■×10=90.96（千克）

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