奈奎斯特采样定理是什么？

连续信号（通常称作“模拟信号”）与离散信号（通常称作“数字信号”）之间的一个基本桥梁。它确定了信号带宽的上限，或能捕获连续信号的所有信息的离散采样信号所允许的采样频率的下限。

严格地说，定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零。离散时间傅里叶变换（泊松求和公式的一种形式）提供了实际信号的解析延拓，但只能近似该条件。

直观上我们希望，当把连续函数化为采样值（叫做“样本”）的离散序列并插值到连续函数中，结果的保真度取决于原始采样的密度（或采样率）。

采样定理介绍了对带宽限制的函数类型来说保真度足够完整的采样率的概念；在采样过程中"信息"实际没有损失。定理用函数的带宽来表示采样率。定理也导出了一个数学上理想的原连续信号的重构公式。

该定理没有排除一些并不满足采样率准则的特殊情况下完整重构的可能性。（参见下文非基带信号采样，以及压缩感知。）

非均匀采样

香农的采样定理可以延伸到非均匀采样，也就是采样的时间间隔非一定值。非均匀采样的采样定理指出针对band-limited的信号，只要平均采样频率满足奈奎斯特条件，就可以从采样信号完整重建原始信号。因此虽然均匀采样在信号重建的算法上比较简单，但这不是完整重建的必要条件。

非基带及非均匀采样的泛用理论是在1967年由亨利·蓝道提出。简单的说，蓝道证明了平均采样率至少需要是信号占据带宽的二倍，但前提是已知信号的频谱及其占据的带宽。

在1990年代末期，此研究已延伸到信号占据带宽的数量已知，但实际在频谱上位置未知的情形。在2000年代已利用压缩感知发展了一个完整的理论。此理论用信号处理的语言写成，在2009年的论文中发表。

论文中证明，若频率的位置未知，则采样率需至少为奈奎斯特准则的二倍。换句话说，因为不知道光学频谱的位置，需要将采样率乘二为代价。注意此最小采样率的要求不一定保证其数值稳定性。

1.概念:香农采样定理，又称奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯和信号处理学科中的一个重要基本结论。

2.1924年奈奎斯特推导出在理想低通信道的最高大码元传输速率的公式。

3.定义:为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。

4.?从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：第一，采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号。

5.第二，信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。

(一) 波特率和比特率

1、波特率指的是信号每秒钟电平变化的次数，单位是Hz：比如一个信号在一秒钟内电平发生了365次变化，那么这个信号的波特率就是365Hz；

2、比特率是信号每秒钟传输的数据的位数，我们知道在计算机中，数据都是用0，1表示的，所以比特率也就是每秒钟传输0和1的个数，单位是bps（bit per second）。

3、那么这两者啥关系呢？我们可以假设一个信号只有两个电平，那么这个时候可以把低电平理解为“0”，高电平理解为“1”，这样每秒钟电平变化的次数也就是传输的0，1个数了，即比特率 = 波特率。但是有些信号可能不止两个电平，比如一个四电平的信号，那么每个电平就可以被理解成“00”，“01”，“10”，“11”，这样每次电平变化就能传输两位的数据了，即比特率 = 2 ×波特率。一般的，bit

rate = buad rate × log2L，这里L就是信号电平的个数。

（二）奈奎斯特（理想状况下，无噪声）

奈奎斯特公式：表示一个有线宽带的无噪声信道的最大数据传输率

Cmax=2B*log2V（bps）

B：带宽{  模拟带宽hz  数字带宽bps} 信号在最高和最低信号频率中通过，最高信号频率和最低信号频率的差值就叫做带宽。

【关于带宽的题目】

现要在光纤上传输一系列计算机屏幕的图像，屏幕是1920×1200 像素，每个像素有 24 位，每秒钟产生 50屏图像，试求需要多少带宽？

 答：所需要的带宽=1920×1200×24×50=2.765Gbps

V：离散等级（个人理解是比特率）

例题1：

例题2：

一个8kHz 的无噪声信道每毫秒采样1 次，最大数据率是多少？ 

答：根据奈奎斯特公式，带宽固定，采样频率固定，最大数据率取决于电平级数 L。 每秒采样 1000 次，若每次采样产生 16 位数据，则最大数据率为 16kbps若每次采样产生 1024位，则最大数据率约为 1.024Mbps。

（未理解）

例题3：

奈奎斯特定理只适合铜线，还是同样适用于高质量单模光纤？ 

答：奈奎斯特定理是一个数学性质，和具体技术无关。其含义是：如果一个函数的傅里叶频 谱不包含频率在 f 之上的正弦和余弦分量，以频率 2f 对该函数采样，就可以获得全部信息。 因此，奈奎斯特定理适用于任何传输媒体。

（三）香农定理

容量：信道中最高的比特率

信道的极限传输速率（信道的最大容量）Cmax

Cmax=Blog2(1+S/N)

S/N:信噪比  信号功率S  噪声功率N

例题1：

在信噪比为 20dB 的3kHz 信道上发送二进制信号，最大数据率是多少？

 答：看到db立刻想到换算：10log10（S/N）=20db  故S/N=100

按照香农公式，S/N=100，可计算出最大数据率是19.975kbps。 而按照奈奎斯特公式，计算出最大数据率为6kbps。 因此，最大数据率为 6kbps。

例题2：

二进制信号在信号在信噪比为127：1的4kHz的信道上传输，最大的数据率可以达到：

A. 28000b/s

B. 8000b/s

C. 4000b/s

D. 可以无限大

分析：看到信噪比，马上上手就可以计算得到：

速率 = 4klog2(1+127)=4k⋅7=28kbps=28000b/s4klog2(1+127)=4k⋅7=28kbps=28000b/s

先别急着选，要想二进制信号就是说直接用的是一位编码表示2个状态，就是V = 2时，可以计算奈奎斯特。

速率 = 2⋅4k⋅log22=8000b/s2⋅4k⋅log22=8000b/s

这样就很有意思了。奈奎斯特得到的比香农小，二者取较小的。

例题3：

若连接R2和R3链路的频率带宽为8Hz,信噪比为30dB,该链路的实际传输速率约为理论最大值的50%，则该链路的实际传输速率约为：C

A. 8kbps

B. 20kbps

C. 40kbps

D. 80kbps

分析：看到dB，马上想到要换算。

10log10(S/N)=30

→S/N=1000→S/N=1000

由此得到信道的极限速率 = 8k⋅log21000=80kbps

因为实际是这个一半，因此得到的是40kbps.

如果直接代入的是30，得到极限速率是40kbps,再取一半，结果是20kbps，感觉很像，实际上是错误的。

【例题4】

要使用多大的信噪比才能在 100kHz 的线路上传输 T1 信号？

 答：根据香农公式，有Hlog2(1+S/N)=1.544×106 ，其中H=100,000 可算出 S/N=215-1，即大约46dB

理解：已知T1信号的数据传输率为1.544*10的6次方，记住。

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