微分和积分运算

1.两个重要的函数:导数和积分。它们的运算结果也是一个函数。让我们先求导。对于函数f(x)，其导函数(即导数运算的结果，简称导数)记为f′(x)。简单来说，f′(x0)就是f(x)在x0处的切线斜率。也就是说，f′(x)是f(x)相对于切点横坐标的切线斜率的函数。

为了描述方便，引入了“零钱”(自命名)的符号。以后用dx表示变量X的变化量(dy表示变量Y的变化量，以此类推)，dx趋近于0。那么对于x0及其函数值f(x)=y，设x增加dx时y增加dy。因为这个变化量“小”(接近于0)，所以x和x+dx之间的函数图像可以近似为一条直线，其斜率为dydx。所以有时导函数写成f′(x)= dydx。

注意，不同的x将导致dy取不同的值。有点傻？让我们从最简单的例子开始，第一个函数。显然，无论x如何变化，也无论dx取什么值(即使不趋近于0)，dydx都是一个固定值，也就是这个线性函数的斜率k(换句话说，这个线性函数处处的正切都与自身重合)。因此，线性函数的导数是常数函数f′(x)= k。

再举一个稍微复杂一点的例子。对于f(x)=x2，其导函数可求出如下:f′(x)= dydx = f(x+dx)？f(x)dx=(x+dx)2？x2dx=2dx？X+dx2dx=2x+dx由于dx趋近于0，f′(x)= 2x。于是我们成功计算出f(x)=x2的导数是f′(x)= 2x。我们来展开一下，证明f(x)=xk的导数是f′(x)= kxk？1 。方法和刚才差不多(二项式定理用一次):f′(x0)= f(x0+dx)？f(x0)dx=(x0+dx)k？xk0dx=∑ki=0Cikxi0dxk？我？xk0dx=∑k？1i=0Cikxi0dxk？idx=∑i=0k？1 kickxi 0 dxk？我？1。

我似乎不知道在这里做什么。别忘了dx趋近于0，所以只有K？我？1=0表示i=k？此项目1不为零！Excited.jpg。所以，f′(x0)= kxk？10 。X0是任意的，所以f′(x)= kxk？1 。

2.导数的加减:h (x) = f (x)+g (x)，h′(x)= f′(x)+g′(x)。设yf=f(x)，yg=g(x)，yh=h(x)(类似符号下文不再赘述)，而且别忘了F′(x)= Dyfdx，G′(x)= Dygdx，那么就有:∵ YH = YF+YG，(

3.导数相乘:h (x) = f (x) g (x)，h′(x)= f(x)g′(x)+f′(x)g(x)公式:“左取右导数，右取左导数”证明如下:∫YH = yg，(yh+dyh)=(yf+dyf)？(yg+dyg)∴dyh=yf？yg+yf？dyg+yg？dyf+dyf？dyg？yh=yf？dyg+yg？dyf+dyf？dyg=f(x)？g′(x)dx+g(x)？f′(x)dx+f′(x)dx？用G′(x)dx的两边除以DX得到:H′(x)= F(x)G′(x)+F′(x)G(x)+F′(x)G′(x)DX。类似地，带有DX的项趋近于0，所以H′(x)= F(x)

4.链式法则:如果h(x)=f(g(x))，那么h′(x)= f′(g(x))？g′(x).当自变量从x0变为x0+dx时，yf的变化为f′(x0)dx。现在，G的变量是dx，yg的变量是G′(x)DX，那么yf的变量是F′(G(x))？g′(x)dx(注意f的自变量的初始值是g(x)不是x)。所以h′(x)= f′(g(x))？g′(x).

5.导数的除法:如果h(x)=f(x)g(x)，那么h′(x)= g(x)f′(x)？f(x)g′(x)g(x)2 .

6.证明:yh = yyyg，(yh+dyh)= YF+dyfyg+dyg∴dyh = YF+dyyg+dyg？yfyg=yg(yf+dyf)？YF(yg+dyg)yg(yg+dyg)= g(x)f(x)+g(x)f′(x)dx？f(x)g(x)？f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx = g(x)f′(x)dx？f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx .两边同时除以x得到:H′(x)= G(x)F′(x)？F(x)G′(x)G(x)2+G(x)G′(x)dx，既然DX趋于0，那么:H′(x)= G(x，F′(x)？f(x)g′(x)g(x)2 .