复数的本质属性

复数作为实数的扩展，由来已久。它曾被称为虚数。直到18世纪初，在德·莫伊弗尔和欧拉的大力推动下，才逐渐被数学家所接受。

理解复数确实需要一些时间，但并不复杂，还能画出漂亮的变换和分形图形。这一次，让我们用图形可视化来拥抱这个概念。

复数，作为实数理论的延伸

我们来看看实数轴上两个数的加减乘除四则运算。观察到在不同的计算下，红蓝点的结果(绿点)的变化总是落在数轴上(当除法的分母为0时，当然无意义)。

看下图，任意实数乘以-1的结果都会关于原点对称地落在相应的位置上。所以乘以-1的计算可以理解为点(数)绕原点旋转半圈。

数学家进一步思考，既然乘以-1是180°的旋转，那么只转90°(比如整数1)落在哪里？有什么意义？

进入新的二维复平面。

这是19世纪数学史上非常重要的一步。现在不是在一维实数轴上，而是在二维复平面上。

考虑到转两个90度刚好会到-1。所以认为-1的平方根是1对应的90度旋转(即1*i*i=-1)，这样平面上垂直于实数轴的单位线段称为虚数单位I .所以它具有这样的性质:

实数轴上这个奇怪的点其实落在了复平面(或者说阿尔冈昆平面)上。复平面上的数都满足结构z=a+b i，称为复数。a叫实部，B叫虚部。如下图1+2i，复数，1和2是实数，I是虚数单位。

现在直角坐标平面是二维的，需要两个数字(x，y)来描述任意一点的位置，但是现在用复数就够了，可以用实数组(a，b)来表示，可以画在复平面上。但是，请记住，每一个这样的点都应该被视为一个复数，而不是一对实数。

需要了解三个新概念:

复数的模(通常写成|z|):模是它的长度R:原点到Z点的距离。

自变量(通常写成arg(z)):自变量φ是与实轴的夹角。

复数的共轭(通常写成Z):共轭是A-B I的形式

观察下图可以更好地理解上述三个概念:

复数运算

复数如何运算，比如可以成对相加，即两个复数的实部和虚部对应相加，可以看作是一种平移运算。

复数也可以相乘，即模数放大或缩小:

复数的乘法，如上所述，数乘以I相当于这个旋转90:

两个复数z1*z2的相乘实际上是旋转+膨胀的两种变换，即两个复数的模乘(膨胀和收缩)和振幅的求和(旋转)。

如果对图片中的每一点进行复数运算变换，就可以得到各种有趣的平面变换图像。这里纪念大神欧拉，以他老人家的头像为例，比如做乘以2 i的函数变换——旋转90°，同时放大2倍；另一个变换函数是三次的。你也可以想想为什么会变成这个形状。:-)

最美的数学公式——欧拉公式

复平面上的一个点可以转换成极坐标(不清楚，看这里)(r，θ)的形式，那么这个点代表的复数是什么呢？X = r cos(θ)和y = r sin(θ)可以用来变换到笛卡尔坐标，所以极坐标(r，θ)表示复数。

z = x + iy = r cos(θ) + i r sin(θ)。

特别地，如果r = 1，那么z = cos(θ)+i sin(θ)。

比如形式r e^(i θ)的复数是极坐标形式，对面的x+iy是笛卡尔形式。1743年，瑞士数学家欧拉给出了著名的欧拉公式，它适用于所有实数θ:

当θ = π时，欧拉公式的特殊形式被评为数学中最美的公式:

这个简明的公式包括了数学中最重要的五个常数:0，1(自然数的基本单位)，E(描述变化率的自然指数)，π和I(虚数的基本单位)。

我们可以用几何方法快速证明这个方程。观察下图中不同θ值对应的极坐标E θ。请注意动画的停顿(尤其是复平面旋转角度为180°，点落到-1°的瞬间)。相信你会明白上面的欧拉方程:

参考资料:

阿德里安·班纳，普林斯顿微积分读本(修订版)

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