「不可能的数字：复数」-图解数学

复数作为实数的扩展，由来已久。它曾被称为不可能的数字(“不存在的数字”)。直到18世纪初，在德·莫伊弗尔和欧拉的大力推动下，才逐渐被数学家所接受。

理解复数确实需要一些时间，但是并不复杂，也能画出非常漂亮的变换和分形图。这一次，让我们用图形的方式来了解这个概念。

首先，它怎么是实数的扩展？让我们以实数轴为中心，看看两个数之间的加减乘除四则运算。观察到红色和蓝色的两个点(数字)。在不同的计算下，结果绿点也会移动，并且总是落在数轴上。(当除法的分母为0时，当然是没有意义的。)

而且我们注意到，任何实数乘以-1的结果都会关于原点对称地落在相应的位置上。乘以-1的运算可以理解为点(数)围绕0旋转半圈。

数学家进一步思考，既然实数(比如1)乘以-1旋转180°，那么只旋转90°，结果会落在哪里？会有意义吗？

后来挪威测量员韦塞尔认为数字1旋转90°两次刚好达到-1 (1*i*i)。于是他认为-1的平方根是对应于1的90度旋转，1是虚数单位，变成了I .所以它有如下性质:

实数轴上这个奇怪的点其实落在了复平面上。复平面上的数都满足结构z=a+b i，称为复数。a称为实部，B称为虚部。

直角坐标平面是二维的，需要两个数字(x，y)来描述任意一点的位置，而现在只需要一个复数就够了。这个复数a+b i可以用实数组(a，b)来表示，可以画在复平面上。这里有三个新概念需要了解:

复数的模数(通常写为|z|)

参数(通常写成arg(z))

复数的共轭(通常以下列形式书写)

复数的模是其长度r原点和Z点之间的距离。自变量φ是与实轴的夹角，共轭是A-B I的形式，观察下图可以更好的理解:

我们来看看复数是如何加减乘除的。比如它们可以成对相加，即两个复数的实部和虚部对应相加，可以看作是平移。

复数也可以相乘(放大或缩小):

复数的乘法，如果只乘以I，相当于这个复数转了四分之一圈:

两个复数z1*z2相乘实际上是旋转+展开，等于两个复数的模乘(展开)，振幅之和(旋转)。

如果对图片中的每一点进行复数运算变换，就可以得到各种有趣的平面变换图像。这里为了纪念大神欧拉310岁生日，以他老人家的头像为例，做乘以2 i的函数变换——旋转90°，放大2倍:

将函数变换到三次幂。考虑一下为什么会变成这个形状？:-)

上面做的图解数学知识点中的复数就是这种情况。好了，现在我们来看看下一章其他高中数学相关概念的动图。

由于本人水平有限，疏忽和失误在所难免，请不吝赐教，多提宝贵意见，帮助我完善这个系列。感谢您的关注！谢谢！