集合的概念表示法与集合之间的关系

2.课时设置演示

学习目标

核营养

1.初步掌握集合的两种表达方式——枚举和描述，感受集合语言的意义和作用。(重点)

2.一些简单的集合可以用集合的两种表示来表示。(重点和难点)

1.通过学习用描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养。

2.借助描述法转化为枚举法时的运算，培养数学运算的素养。

1.枚举法

将一个集合的所有元素逐一枚举并用大括号“{}”括起来表示该集合的方法称为枚举。

2.描述方法

一般设A为集合，集合A中所有具有共同特征P(x)的元素X组成的集合表示为{x∈A|P(x)}。这种表达集合的方法叫做描述。

思考:(1)不等式X-23的解集中的元素有什么共同特征？

(2)如何用描述的方法表示不等式X-23的解集？

温馨提示:(1)元素的共同特征是x∈R，和x5。

(2){x|x5，x∈R}。

1.方程x2 = 4的解集用枚举法表示为()。

A.{(-2，2)} B.{-2，2}

C.{-2} D.{2}

B [X = 2从x= 2 = 4，所以可以用枚举表示为{-2，2}。]

2.用描述的方法表示函数y = 3x+1的图上所有点是()

A.{x|y=3x+1} B.{y|y=3x+1}

C.{(x，y)|y=3x+1} D.{y=3x+1}

c[这个集合是一个点集，所以可以表示为{(x，y) | y = 3x+1}，选择C.]

3.描述不等式4x-57的解集是_ _ _ _ _ _ _ _。

{x|x3}[可以用描述的方法表示为{ x | x3 }。]

通过枚举表示一个集合。

[示例1]使用枚举来表示下面的给定集合:

(1)由不大于10的非负偶数组成的集合A；

(2)由小于8的素数组成的集合B；

(3)由方程2x2-x-3 = 0的实根组成的集合C；

(4)由线性函数y = x+3和y =-2x+6的像的交点组成的集合D。

【解法】(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以a = {0，2，4，6，8，10}。

(2)小于8的素数是2，3，5，7，

所以b = {2，3，5，7}。

(3)方程2x2-x-3 = 0的实根是-1，，

所以c =。

(4)你懂了。

所以线性函数y = x+3和y =-2x+6的交集是(1，4)，

所以d = {(1，4)}。

枚举表示集合的三个步骤

(1)找到集合的元素；

(2)逐个列出元素，同一元素只能列出一次；

(3)用花括号将它括起来。

提醒:二元方程的解集和函数图上的点集都是点集，必须以实数对的形式书写，元素之间用“，”分隔，如{(2，3)，(5，1)}。

1.使用枚举来表示下列集合:

(1)由满足-2 ≤ x ≤ 2和x∈Z的元素组成的集合a；

(2)由方程(x-2) 2 (x-3) = 0的解组成的集合M；

(3)由方程的解组成的集合B；

(4)15n的一组正约数.

【解法】(1)满足-2 ≤ x ≤ 2，x∈Z的元素为-2，-1，0，1，2，所以a = {-2，-1，0，1，2}。

(2)方程(x-2) 2 (x-3) = 0的解是x = 2或x = 3，

∴M={2,3}.

(3)解∴ b = {(3，2)}。

(4)15的正除数是1，3，5，15，所以n = {1，3，5，15}。

通过描述来表示一个集合。

[示例2]描述以下集合:

(1)一组大于1小于10的实数；

(2)平面直角坐标系中第二象限内的点集；

(3)一组正整数，其余数除以3后等于1。

【解法】(1) {x ∈ r | 1x10}。

(2)集合的代表元素是一个点，用描述的方法可以表示为{(x，y)|x0，y0}。

(3){x|x=3n+1，n∈N}。

描述表示集合的两个步骤。

2.

描述以下器械包:

(1)函数为y =-2x2+x的图上所有点的集合；

(2)不等式2x-35的解集；

(3)如图所示阴影部分的点(包括边界)的集合；

(4)3和4的所有正的公倍数的集合。

【解法】(1)函数y =-2x2+x的图像上所有点的集合可以表示为{(x，y) | y =-2x2+x}。

(2)不等式2x-35的解集可以表示为{x | 2x-35}，即{x | x4}。

(3)图中阴影点(包括边界)的集合可以表示为。

(4)3和4的最小公倍数是12，所以3和4的所有正公倍数的集合是{x | x = 12n，n ∈ n *}。

表征方法的综合应用

[询问问题]

以下三组:

①{ x | y = x2+1 }；②{ y | y = x2+1 }；③{(x，y)|y=x2+1}。

(1)它们各自的含义是什么？

(2)它们是同一套吗？

温馨提示:(1)集合① {x | y = x2+1}的代表元素是x，满足条件y = x2+1，所以{x | y = x2+1} = r本质上是；

②集合的代表元素是Y，满足条件Y = x2+1的Y的取值范围是y≥1，所以本质上是{ Y | Y = x2+1 } = { Y | Y≥1 }；

③集合{(x，y) | y = x2+1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y = x2+1的对(x，y)的集合，或者是坐标平面上的点(x，y)的集合，这些点的坐标满足y = x2+1，所以{

(2)根据(1)中三个集合各自的含义，它们是不同的集合。

【例3】设A = {x | KX2-8x+16 = 0}。如果集合A中只有一个元素，则它是由实数k的值组成的集合.

[思维灵感]

【解法】(1)当k = 0时，方程KX2-8x+16 = 0变为-8x+16 = 0，解为x = 2，满足题意；

(2)当k≠0时，若集合A = {x | KX2-8X+16 = 0}中只有一个元素，则方程KX2-8X+16 = 0只有一个实根，故δ = 64-64K = 0，k = 1可解。这时，集合A = {4}。

综上所述，k = 0或者k = 1，那么实数k的取值集合为{0，1}。

1.(改变条件)在这个例子中，如果条件“只有一个元素”改为“两个元素”，其他条件不变，由实数k的值组成的集合.

【解答】从题意来看，方程KX2-8x+16 = 0有两个不相等的实根，所以是k1，k≠0。

所以实数k的集合是{k|k1且k ≠ 0}。

2.(改变条件)在这个例子中，如果条件“只有一个元素”被改变为“至少一个元素”，而其他条件保持不变，则实数k的值的集合.

【解答】从题的意思来看，方程KX2-8x+16 = 0至少有一个实根。

①当k = 0时，从-8x+16 = 0得到x = 2，符合题意；

②当k≠0时，若方程KX2-8x+16 = 0至少有一个实根，则δ = 64-64k ≥ 0，即k≤1。

①从综合②中可以看出，实数k的取值集合为{k | k ≤ 1}。

1.如果已知集合是由描述给出的，那么了解集合的代表元素及其属性是解决问题的关键。例如，在例3中，集合A中的元素是给定方程的根，因此将集合中元素的数目转换为方程的根的数目。

2.注意学习过程中数学素养的培养，比如这个例子中的等价变换思想和分类讨论思想。

1.集合可以用枚举或描述来表示。一般来说，如果集合元素有限，常用枚举，而集合元素无限，常用描述。

2.在处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别是区分数集和点集；其次，要确定要素满足什么条件。

1.思考和辨别

(1){1}=1.( )

(2){(1，2)}={x=1，y=2}。( )

(3){x∈R|x1}={y∈R|y1}。( )

(4){x|x2=1}={-1，1}。( )

【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)√

2.由大于-3小于11的偶数组成的集合是()

A.{x|-3x11，x∈Z}

B.{x|-3x11}

C.{x|-3x11，x=2k}

D.{x|-3x11，x=2k，k∈Z}

D【从题意可以看出，只有选项D能满足题意条件，所以选D】。

3.线性函数y = x-3和y =-2x的像的交集构成的集合是()

A.{1，-2} B.{x=1，y=-2}

C.{(-2，1)} D.{(1，-2)}

d[两个函数像的交点组成的集合是{(1，-2)}。]

4.设集合A = {x | x2-3x+a = 0}，若4∈A，尝试枚举表示集合A .

【解法】∫4∈a，∴ 16-12+a = 0，∴ a =-4

∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.