行列式的性质和定义

作者，【陌生人，爱情】，多多数学网群友，就读于湖北理工学院。

微信，手机QQ搜索关注多多数学网。每当你得到更多有趣的数学文章，

新浪微博:

今天，边肖想告诉你行列式的知识。看到行列式会不会觉得特别亲切？大一学行列式很痛苦吗？——不管怎么说，当年边肖学这个是极其痛苦的——也许我很笨，:)。

还记得线性代数或者高等代数中行列式的定义吗？一般教材中关于行列式的定义大约有两种，即逆定义和展开定义。无论哪种定义方法，都让我觉得莫名其妙。直到学习了线性方程组，建立了方程和行列式的关系，我才知道这些定义的意义。在没有任何直观意义的帮助下，学习行列式的各种性质和死记硬背没什么区别。

今天，边肖抛弃了通常的线性代数或高等代数教材中的定义，从几何上让读者更直观地理解什么是行列式，用几何的方法介绍行列式的基本性质。

现在说行列式吧！我们先来看看简单的二阶行列式:

如上图，平行四边形OACB的面积为:

毫不奇怪(取m = l = 1)，我们以这种方式记忆和角公式:

所以二阶行列式的值可以表示两个向量组成的平行四边形的面积。那么三阶行列式是什么意思呢？n阶行列式是什么意思？我相信你可以通过类比来弄清楚。没错，三阶行列式的几何意义就是三维欧式空空间中平行六面体的体积。当然，n阶行列式由n个n维向量组成，结果是n维平行多面体的体积。

在下文中，我们将在以后解释行列式基本性质的几何意义。我们来看看行列式性质的几何解释。这里，我们以二阶或三阶行列式为例进行说明。

1.性质:行列交换行列式不变(转置)。

数学表达式是:

几何解释:显然，平行四边形的两条相邻边互换，其面积不变。

这说明行列式的行和列是等价的，也就是说，行成立的，列也成立。

性质:一行行列式乘以一个常数，相当于这个数乘以这个行列式。

数学上表示为:

至于二阶行列式，看上图就很直观了。我们把其中一个向量换成原来的K倍，面积也变成原来的K倍。

类似的三阶行列式是，平行六面体体积的k倍，相当于其中一个向量变成原来的k倍。平行六面体的体积增加可以看作是一个边长相应的倍数增加。

性质:如果一行是两组数的和，那么这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式除了这一行以外，都与原行列式对应的行相同。

数学上表示为:

如图所示，图中紫色平行六面体的体积可以看作是两个小平行六面体的体积之和，也就是说，一个行列式通过拆分其中一个列向量就可以得到两个行列式的和。

性质:如果行列式的两行成比例，那么行列式为零。

数学上表示为:

首先，在一种特殊情况下，当k为1，也就是说当行列式的两列或两行元素相等时，与其空对应的平行六面体的两个相邻边重合，相应地，平行六面体被压成一个高度为零的二维平行四边形，其体积为零，即行列式为零。当k不等于1时，对应的一组向量中存在共线向量，即维数从N减少到n-1时对应的测量体积为零。

5:将一行的倍数加到另一行，行列式不变。

数学上表示为:

这个性质表述如下:以矢量A和B为底的平行六面体，在矢量A的方向做切变换，我们知道平行六面体在水平推动时，体积不变。因此，相应行列式的值是不变的。

6.性质:取行列式两条线的位置行列式的反号。数学上表示为:

因为向量是有方向的，如果我们把符合右手定则的叉积定义为正值，那么它的逆就定义为负值。当det(A)为负时，它确定原始图像的反射。

其实行列式的几何意义就是有向线段(一阶行列式)或者有向面积(二阶行列式)或者有向体积(高阶行列式)。行列式是由各自坐标轴上的有向线段包围的有向体积的总和。注意这个积累的方向，同方向加，反方向减。

相信读者应该明白行列式的几何意义。他们对行列式有更新的认识吗？其实边肖一直觉得，很多数学量或者概念都可以找出它们对应的直观意义，这样我们的数学学习就不会那么抽象难懂，反而会很有趣。

最后，希望大家都能喜欢数学。反正边肖很喜欢数学——数学虐了我几千次，我却把它当成初恋——不管你信不信，反正我自己也不信。啊哈哈哈哈~ ~ ~。

微信，手机QQ搜索关注多多数学网。每当你得到更多有趣的数学文章，

新浪微博: