自然数集合

想必大家都会经常被小朋友问，为什么1+1等于2？通常很多人都会回答，因为一个手指加一个手指等于两个手指，或者一个苹果加一个苹果等于两个苹果，所以回答孩子没有问题。长大后，如果问别人为什么1+1等于2，会被嘲笑，但你有没有想过理论依据是什么？想知道这个问题，就不得不提自然数集的两大理论之一:序数论。

序数理论有很多。这里给出皮亚诺公理和自然数的加法定义，可以说明1+1=2。

皮亚诺公理:

定义:不是空集合N的元素称为自然数，如果N个“后继者”(用符号“'”表示)的元素之间存在基本关系，并且满足以下公理:

(1)1∈N，对任意一个a∈N，a'≠1。

(2)对于任意一个a∈N，都有唯一的后继A’(即a=b推导出A’= b’)。

(3)1以外的任何元素只能是一个元素的后继(即a'=b '演绎a=b)。

(4)(归纳公理)如果M包含在N中，并且

1)1∈M；

2) a∈M推出a’∈M，

那么m = n。(这个定义摘自李长明、周焕山主编的《初等数学研究》。由于编译年代较早，此时0不属于自然数集，而属于扩展自然数集。)

说明:从公理(1)可知，1是自然数的开始；由公理(2)，1’(1的后继者)唯一确定，记为2，2’(2的后继者)唯一确定，记为3；等一下。公理(3)说明不同自然数的连续数是不同的，所以自然数集合中没有两个数相等或相同，于是得到自然数序列:

1,2,3,4,...，n，...

那么，说这些有什么用呢？下面给出自然数的加法定义:

1)设a∈N，那么a+1 = a’；

2)设A，b∈N，则a+b'=(a+b)'。

回到开头，为什么1+1等于2？

由加法定义

a+1=a '

所以设a=1，有

1+1=1'

并且因为公理(3)具有1’= 2

所以1+1=2

这就是1+1=2的理论基础。

对于普通人来说，知道这些真的没什么用。但它精确的定义和严谨的思维，可以帮助我们对事物的本质有深刻的认识；这正是我们所需要的。

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