数学分析，用积分推导出球的面积公式，谢谢

求半径为a的球的表面积

解：取上半球面的方程 z=√(a²-x²-y²)①，积分区域D为园 x²+y²≤a²

由球面方程①得：

∂z/∂x=-x/√(a²-x²-y²)；∂z/∂y=-y/√(a²-x²-y²)

从而 1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²=a²/(a²-x²-y²)；

球上半部的面积A=(D)∬√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dxdy

=∬[a/√(a²-x²-y²)]dxdy

注意被积函数在D的园周上不连续，因之取D₁: x²+y²≤b²(b<a)代替D为积分域后

令b→a 为计算方便，将直角坐标变为极坐标，于是：

∬[adxdy/√(a²-x²-y²)]=a∫[0,2π]dθ∫[0,b]rdr/√(a²-r²)

=2πa∫[0,b]rdr/√(a²-r²)=2πa[a-√(a²-b²)]

b→a时，它的极限是2πa²,而球的面积是这极限值的两倍，即2A=4πa²

这就是我们所要的结果。

x²+y²+Dx+Ey+F=0 D的平方+E的平方-4F要大于0

圆的第一定义在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。这个定点叫做圆的圆心。球的定义（1）在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。（从集合角度下的定义）（2）以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体（solid sphere），简称球。（从旋转的角度下的定义）

一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径。球体是有且只有一个连续曲面的立体图形，这个连续曲面叫球面。

球体在任意一个平面上的正投影都是等大的圆，且投影圆直径等于球体直径。

定义：一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，如图所示的图形为球体。

球体是一个连续曲面的立体图形，由球面围成的几何体称为球体。

世界上没有绝对的球体。绝对的球体只存在于理论中。

但在失重环境（如太空）中，液滴自动形成绝对球体。

球体的组成

球的表面是一个曲面，这个曲面就叫做球面。

球和圆类似，也有一个中心叫做球心。

球体数学

数学中的球体

球体基本概念

半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。

球面所围成的几何体叫做球体，简称球。

半圆的圆心叫做球心。

连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。

连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

球体性质

用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：

1 球心和截面圆心的连线垂直于截面。

2 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。

在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

球体函数

半径为r的球的方程为：

球体的计算公式

半径是R的球的体积计算公式是：

半径是R的球的表面积计算公式是：

证明：

图1

证：

欲证 ，可证

做一个半球h=r, 做一个圆柱h=r(如图1)

∵V柱-V锥

= π×r^3- π×r^3/3

=2/3π×r^3

∴若猜想成立，则V柱-V锥=V半球

根据[1] 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的两个截面面积相等，那么，这两个立体图形的体积相等。

∴若猜想成立，两个平面：S1(圆)=S2(环)

可以先通过三个点，计算出一个圆，过这个圆的圆心做垂直于圆的直线，圆心的求解，可以通过ABC之间的空间关系，先将ABC三点归算到xoy平面，找到平面的圆心，然后反算到空间

球心一定在这个直线上，这条直线可以求出来，用参数表达，只需要在这条直线上找一个点，这个点到前面三个点的任意一个点，和剩下的一个点的距离相等就可以，这个可以用直线的参数表达式，设参数求解

（1）球的表面积公式是：S=4πR²

公式描述：公式中R为球的半径，S为球的表面积。

（2）球面的标准方程：（x-a）²+（y-b）²+（z-c）²=r²（r>0）

方程描派激述：表示的球面的球心是（a，b，c），半径是r。

（3）半径是R的球的体积计算公式是：V=(4/3)πr

扩展资料：

球的定义：

（1）在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。

（2）以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转蚂租体叫做球体，简称球。

（3） 以圆的直径所在直线为旋转轴，圆面旋转180°形成的旋转体叫做球体，简称球。

（4）在空间中到定闷羡兆点的距离等于定长的点的集合叫做球面即球的表面。这个定点叫球的球心，定长叫球的半径。

球的性质：

（1）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。

（2）在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

球面的方程(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²(R为实数)。

球面的方程：在空间直角坐标系下，方程（x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²(R为实数）；所表示的图形称为球面，其中M。（a,b,c)称为其中心；R称为其半径。不难看出，广义球面包括普通球面，一个点和虚球面。

球面方程式的一般式：

球面的方程式（x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²；

可化成三元二次方程式x²+y²+z²+Dx²+Ey+Fz+G=0的形式；

一般而言，三元二次方程式x²+y²+z²+Dx²+Dx+Ey+Fz+G=0不一定代表球面方程式。

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