分离参数法是

将含参数的方程(或不等式)经过变形，将参数分离出来，使方程(不等式)的一端化为只含参数的解析式，而另一端化为与参数方程无关的主变元函数，通过函数的值域或单调性讨论原方程(不等式)的解的情况，则往往显得非常简捷、有效．这种处理方式称为"分离参数法"．

例如:

函数f(X)=X^2+mX+3,当X∈[-2,2]时,f(X)≥m恒成立,求实数m的范围

f(x)=x^2+mx+3>=m成立

所以 (1-x)m<=x^2+3

分类讨论: 当-2<=x<1时:

m<=(x^2+3)/(1-x) 求出右边式子的最小值,即为m的最大值

当x=1时 该式恒成立

当1<x<=2时,

m>=(x^2+3)/(1-x) 求出右边式子的最大值,即为m的最小值

分离参数法：通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题

例1设函数f(x)=ax^2－3x+1 对于x∈[－1，1] 总有f(x)≥0 成立，求a 的取值范围．

解：对于x∈[－1，1]，

ax^2－3x+1≥ 0

故ax^2≥ 3x－1

当x= 0时显然成立；

若x不为0，则有 a≥ (3x－1) / x^2 = 3/x－1/x^2 =9/4－ (1/x－3/2)^2

设t =1/x，则 t∈(－ ∞,－1]∪[1, + ∞)；

再设g(t) =9/4 － (t －3/2)^2．

g(t)的图象是一开口向下的抛物线，在t = 3/2取最大值．

故g(t)≤g(3/2) = 9/4．

也就是说对于x∈[－1，1]且x≠0，(3x－1) / x^2≤9/4

∴ a≥9/4 例2．讨论关于x的方程：lg(x－1)+lg(4－x)=lg(a－x)的实数解的个数

解： 原方程可化为：

(x－1)(4－x)=a－x (1<x<4)

a=－x^2+6x－4=－(x－3)^ 2+5(1<x<4)

因为f(x)=－(x－3) ^2+5的单调区间为：(1，3]，(3，4）

当x∈(1，3]时，f(x)∈(1，5]；

当x∈(3，4)时，f(x)∈(4，5)；

所以：当a∈(4，5)时，方程有两解；

当a∈(1，4)或5时，方程有一解；

当a∈(－∞，1]∪(5，+∞)时，原方程无解

例4． 已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，f(1)=1, 若对a, b∈[－1,1] ,且a+b≠0,

恒有(f(a)+f(b))/(a+b)>0

(1) 判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性

(2) 若f(x)≤a－2am+1对x∈[－1，1]，a∈[1，3]恒成立，求m的取值范围．

解：（1）易知f(x)在区间[－1，1]上为增函数．

（2）由（1）知，f(x)在[－1，1]上单调递增，且f(1)=1，则f(x)在[－1，1]上最大值为1．

∵f(x)≤a－2am+1对x∈[－1，1]，a∈[1，3]恒成立，

则只需a^2－2am+1≥1，即a^2－2am≥0对a∈[1，3]恒成立，

即2m≤a对a∈[1，3]恒成立，∴2m≤1,m≤1/2

综上所述，m的取值范围为（－∞， 1/2]

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由y'+y=0得dy/y=-dx,

y=ce^(-x),

设y=c(x)e^(-x),则

y'=[c'(x)-c(x)]e^(-x),

代入原方程得c'(x)e^(-x)=x,

c'(x)=xe^x,

c(x)=(x-1)e^x+C,

∴y=[(x-1)e^x+C]e^(-x)=x-1+Ce^(-x)

相关点法（动点转移法）对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程

例已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程

例设点A和B为抛物线

y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

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