题目 为什么幂函数的底数在某些情况下可以为0指数函数的底数却不可以为0

如果在高中范围内讨论,是很简单的因为定义规定的

幂函数是y=x的多少次幂设为a吧那么a几种情况

把a从负无穷增加到正无穷

a小于零的话,首先是a小于等于-1就是y=(x的多少次方)分之一,就是图形为双曲线的图像

如果a是0什么数的0次方还是1所以是个直线但是,注意再学0次幂的时候,书上有几行黑色的字有一条写的很明显,0没有0次幂所以这个情况下,图像不是一条完整的直线,缺少1个点(0,1)

如果a是大于0小于1的情况,那就是y=x的根号几次幂大家都知道,再实数范围内,a偶数情况下,底是不能为负数的,根号下负数就成了虚数了所以这个时候的图像是不太完整的单调幂函数图像

如果a是等于1的y=x是一次函数,直线

如果a是大于1的,图像是个抛物线

再说回来,a小于0并且大于-1时时说法最多的因为他相当于y=(几次根号下的x)整体分之1

所以根号下的x不能是0否则分母为零另外偶数根号下的x还不能是负数

其中x是自变量,是可以有定义域的,就是说我们可以规定他取多少值,比如偶数次根号下的东西,就是不能为负数那么x就大于等于0了函数是考虑一个数变化,另一个相关变量也跟着变化的关系的如果一个数都没意义了,还考察他的相关量怎么跟着变化,就没更没意义了其中的a是固定的,比如你确定了a是什么范围内的一个数那么a必须先固定下来然后才开始算函数x是可以随便变化的

以上就是幂函数另外指函数也是规定了的首先就规定了指数函数的底是大于零的并且教科书上说的很明显,高中部分不讨论函数是y=a的x次方这个时候a是固定的

x变化a分几个情况

1a小于1大于0,左高右低,穿过(0,1)

2a=1,1的多少次幂都是1就是一条直线

3a大于1,左低右高的曲线

你要是非得讨论a=0的情况,也可以一个数的几次幂,相当于他自己乘以自己几次3次方就乘3次,N次方就N次0乘以自己还是0所以0的正数次方,就还是0

0的0次方,定义里说了没有0的负数次方,相当于0的正数次方后,整体取倒数但是0不能是分母,所以没有

也就是说,这种情况下,图像就是x轴的正半轴不包括原点

指数是可以以负数为底的比如（-2）^2;但是函数是不一样的如果指数函数的底可以是负数的话,那么它的定义域就无法确定（负数的指数不能为1/2,1/4,1/6等等）,那么所有的指数函数就无法系统的研究它的性质因为没有规律性,所以规定指数函数的底必须为正实数

真数没有限制，限制的是底数。这个涉及到函数定义域和值域的取值范围。基本上高中接触的函数定义域和值域最大也就是实数集。举个指数函数的例子（对数函数不好理解）：假如底数为－2，指数为1/2，那么幂是多少？答案是根号负二。请注意啊，实数范围内是没有负数的平方根的。因此指数函数的底数必须是正数，作为指数函数的反函数，对数函数当然也要有这种规定了。当然了如果硬要问个究竟，那复变函数了解一下。

指数函数

一般的，形如

其中 a 叫做底数， a>0且 a≠1 ，x叫做指数，是函数的自变量，取值范围x∈R。也许你会好奇的问，为何底数a 不能取1或者负数，如果a=1，此时原函数就是一个常数函数 ; 而当 a 取负数的时候，我们来看一个特殊情况

做出图形如下

从图形来看，随着自变量 x 的 增加，因变量y 在 -1 和 1 之间来回震荡，这对函数的影响极其恶劣，甚至造成函数的不连续性，为后续的研究带来很多麻烦，所以才人为规定底数不能为负数，并不是说指数函数底数原生不能为负数。 指数函数的性质从图形来看，随着自变量 x 的 增加，因变量y 在 -1 和 1 之间来回震荡，这对函数的影响极其恶劣，甚至造成函数的不连续性，为后续的研究带来很多麻烦，所以才人为规定底数不能为负数，并不是说指数函数底数原生不能为负数。 指数函数的性质

在明确长什么样的是指数函数之后，我们要对指数函数的性质进行探讨，分为 01两种情况并结合图像来讨论

从图像看到此时指数函数具备如下性质

自变量可以取实数R中任意值，函数值取遍

减函数，即随着自变量 x的增加，函数值反而减少，最后无限接近x轴

过固定点(0, 1)

函数图像向右下倾斜，且越来越平缓

（2）当 a>1时

自变量可以取实数R中任意值，函数值取遍

增函数，即随着自变量 x 的增加，函数值也在增加，最后走向无穷大

过固定点(0, 1)

函数图像向右上峭，且越来越陡

指数函数的运算法则

我们把m,n当成一些整数就很好理解了，第一个表示 m个 a相乘后的积再与n个a相乘的积作乘法，写出来就是

第一个等式后面的第一个等式括号里面有m 个 a，第二个括号里面有 n 个 a，第二个等式后面有 m+n个 a。第二个和第三个也可以用同样的办法来解释，最后重点解释一下

假设，现在让等式两边同时作n次方运算，根据性质3，等式左边，而等式右边为，于是，两边再开n次方，得到 。如果你不想记住这些运算法则，那么你可以让a，m，n取一些特殊值来找规律

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