高数收敛域

先求收敛半径r=lim(n→∞) (n+1)/(n+2)=1

然后,

检验x=1,∑(n=0,∞) (n+1)明显发散

检验x=-1,∑(n=0,∞) (-1)^n(n+1)明显发散

因此,收敛域为(-1,1)

令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)x^n

在(-1,1)内,根据逐项积分：

∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)t^n) dt)

=∑(n=0,∞) (x^(n+1))

=x+x^2+……+x^n+……

=x/(1-x)

再根据逐项求导：

[∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]'

f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2

因此,∑(n=0,∞) (n+1)x^n=1/(1-x)^2,x∈(-1,1)

收敛区间一定是开区间，收敛域需要根据区间端点值来确定是开是闭。例收敛半径是2，那么收敛区间是（-2,2），收敛域可能是（-2,2）,（-2,2],

[-2,2),

[-2,2]具体是哪种则需要根据X=-2,X=2时原级数是否收敛来确定，收敛即为闭区间，发散即为开区间。

设An=1/n!

An+1=1/(n+1)!

比值法

lim n→∞ |x/2| An+1/An

=lim n→∞ |x/2| n!/(n+1)!

=lim n→∞ |x/2| 1/(n+1)

=0 |x/2|

可知收敛域为R

即x∈(-∞，+∞)

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