等价公式

等价公式：e^x-1-x(x→0)。设有两个命题p和q，如果由p作为条件能使得结论q成立，则称p是q的充分条件；若由q能使p成立则称p是q的必要条件；如果p与q能互推，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，也称p与q等价。

若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A上的等价关系。所谓关系R就是笛卡尔积A×A中的一个子集。

A中的两个元素x，y有关系R，如果(x，y)∈R。我们常简记为xRy。

自反：任意x属于A，则x与自己具有关系R，即xRx；

对称：任意x，y属于A，如果x与y具有关系R，即xRy，则y与x也具有关系R，即yRx；

传递：任意x，y，z属于A，如果xRy且yRz，则xRz

x，y具有等价关系R，则称x，yR等价，有时亦简称等价。

通过基本判定精细判断：

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。

需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是

R（A）=R（B）=R（A，B），

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

设有两个向量组

（Ⅰ）：α1，α2，……，αm；

（Ⅱ）：β1，β2，……，βm；

如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，则向量组（Ⅰ）={α1，α2}与向量组（Ⅱ）={β1，β2，β3}等价。事实上，给定的条件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，这表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）线性表示，由定义即知（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

它们中的字母的可取值范围完全相同， 并且同时成立或同时不成立。等价不等式意思是它们中的字母的可取值范围完全相同， 并且同时成立或同时不成立。一个不等式(组)与另一个不等式(组)，或另外几个不等式(组)“等价”，是指它们中的字母的可取值范围完全相同，并且同时成立或同时不成立很明显，这时它们的解集也完全相同，所以“等价”的不等式(组)是“同解”的不等式（组），“同解”在解不等式（组）中是十分重要的，如果没有“同解”的保证，在不等式（组）的变形中，就可能缩小或扩大未知数的可取值范围,这样就无法判断最后结果是否为原不等式（组）的解集（因为不等式或不等式组的解集往往含有无限多个元素，所以用代入法逐个进行验算是不可能的）。

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或| A|。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用，那么行列式的等价定义是什么？

1、 行列式有很多等价定义。等价定义就是你可以拿其中一个作为定义，而另外的就是他的充分必要条件。我可以举出三个。

2、 第一个应该是大部分国内教材用的。用a{i，j}表示行列式第i行j列元素，p=（p1，p2，。。。，pn）表示1到n的排列，tp代表排列p的逆序数。n阶行列式的值等于对全部的排列p，（-1）^tpa{1，p1}a{2，p2}。。。a{n，pn}的和。

3、 第二个是递归定义，一阶行列式｜a｜=a，高阶行列式按第一行展开，即行列式等于a｛1，k｝A｛1，k｝对全部k=1，2，。。。，n求和。其中A｛1，k｝为a｛1，k｝的代数余子式。可以证明这种定义可以推广成按任意行或列展开且展开的值相等。

4、 第三种是从性质入手定义。从上面两个定义来看，行列式可以看成一个n^2个域F元素到域F上的函数。我们将每一列元素视为一个列向量，即向量空间F^n中的元素，那么行列式是n个F^n中元素到F上的函数。我们可以这么定义行列式：若F^n到F上的n元函数f是n重线性标准反对称的，则f是域F上的行列式。这种定义其实就是从行列式性质（列按加拆，整列的系数可提出，单位矩阵行列式为1，交换列行列式乘-1）出发倒过来定义行列式，这个定义想要合法必须证明这样的函数具有确定性、唯一性，具体证明就不写了。利用这个定义是可以推出值等同于定义1，2的结果的，所以是等价定义。

等价原理是经典物理学建立的初始条件。牛顿根据伽利略变换的等价原理建立了三大力学理论，为科学发展奠定了基础。伽利略变换的等价原理是“力在任何惯性系中是等价的”。

某一物体的运动状态在不同的惯性系中是不一样的，但它的运动状态的变化所显示的力在任何惯性系中是一样的。这就是力在任何惯性系中是等价的。在经典力学里，等价的还有物体质量、时间、加速度和速度的增量。

爱因斯坦假设光速在任何惯性系中是一样的，和物体运动在任何惯性系中是等价的，建立了相对论。等价原理也就有了不同的解释。

等价原理：引力的最基本的物理性质。

在任何一个时空点上都可以选取适当的参考系，使一切物质的运动方程中不再含有引力项，即引力可以局部地消除。如果认为这种消除了引力的参考系是惯性系，那么，等价原理告诉我们，在任何一个时空点，一定存在局部惯性系。伽利略最早注意到，不同物体沿斜面的下滑运动是一样的,即引力加速度与物体的组成无关。

保险中等价是收入(纯保费)与支出(理赔额)在保单生效时的精算现值相等。

纯保费与理赔额的发生通常不会在同一个时间点上，应该将两者放在同一个时间点上进行比较。一般将纯保费与理赔额折现到保单生效这个点上。这样，对纯保费和理赔额的比较就不能单纯的看其数额的大小，还要看资金的时间价值，保险标的物的死亡时间。

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