概率论三大定律

概率论三大定律是：伯努利大数定律、中心极限定理、辛钦大数定律

依据考研数学的安排，在学习大数定律之前引入这样两个先修知识点：（1）切比雪夫不等式： ，对任意的ε>0它的意义是：事件大多会集中在它的期望附近

（2）依概率收敛：如果xn是一个随机变量序列、A是一个常数，对任意的ε>0，有则称Xn依概率收敛于常数A

依概率收敛并不同于传统意义上的“实验无数次后频率会无限靠近概率”，它实际上在概率附近划出了一个小的边界ε。实验结果当然可能发生波动，这个边界的作用就是把波动限制在一个很小的范围内。即使超出这个边界，也只是一个 小概率事件 。（小概率事件是指在一次实验中几乎不可能发生的事件，而在重复实验中一定会发生。）

接着看大数定律：（1）切比雪夫大数定律：这里显然是不严谨的，因为为了方便表述我们省略掉了一些前提条件，好在并不影响对于这个定律本身的理解。

它的数学意义显而易见： 算数平均值依概率收敛于数学期望 。当我们中学做的物理实验中采用多次实验取平均值的方法来减小误差时，实际上理论依据就是切比雪夫大数定律。

（2）伯努利大数定律：伯努利大数定律的条件是Xn服从B(n,p)，也就是说Xn是n重伯努利实验中事件发生的次数，它的数学意义是 频率依概率收敛于统计概率 。伯努利大数定律实际上是切比雪夫大数定律的一种特殊情况。

（3）辛钦大数定律：辛钦大数定律在表述上和切比雪夫相差不多，但它的特点在于要求Xi独立同分布，并且要存在期望。

（4）棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理 设随机变量Xn服从B(n,p),则对于任意实数x，有 ，其中φ(x)是标准正态的分布函数。 结论：Xn近似服从于N(np,np(1-p))

（5）列维——林德伯格中心极限定理 ，条件：Xn独立同分布、期望和方差存在，有  结论： 近似服从于N(nμ，n )

我们先给出这两个中心极限定理，可能不太好懂，好在他们之间有很深的关系，或者说棣莫弗实际是列维的特殊情况（服从B(n,p)）。有了上述的两个中心极限定理，我们就可以在n很大的情况下把任意一个复杂的分布近似地看作一个正态分布，大大减少了分析的难度

切比雪夫大数定律是数学学科概率论里面一个重要的定律。如下：

解析：

契比雪夫大数定理的意义在于．要测算众随机变盘的数学期望值，切比雪夫大数定律仅需满足契比霄夫大数定理的条件，切比雪夫大数定律即可以观察值的算术平均值近似取代。

在保险经营中，切比雪夫大数定律承保的是预期可能发生的风险及其损失，切比雪夫大数定律以过去和现在观察值预期未来．是保险进行风险远期交易的规则。切比雪夫大数定律据契比雪夫大数定理可以过去若干年的损失观察值的算术平均值来估算权失期望值。

用保险经营实践的尽可能长久的保额祝失率的算术平均值，切比雪夫大数定律来估算经验权失期望值；切比雪夫大数定律以长久的生命统计值来编制国民或经验生命表中的若干生命切比雪夫大数定律及生命期望值。

切比雪夫大数定律证明了一个共同的规律：

大量随机因家的总和作用必然导致某种不依赖于个别随机现象的必然结果与规则切比雪夫大数定律。据此保险人摆脱了对个别险种或标的随机风险无力把握的窘境。

概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。

大数定律分为弱大数定律和强大数定律。

“久赌必输”概率论原理是“大数定律”。

18世纪初，法国数学家雅各布·伯努利从数学角度证明了大数定律，被后人称之为伯努利大数定律，之后又有数学家不断地用多种数学表述形式描述了大数定律。大数定律告诉我们，大量重复的随机事件的表象之下，往往会呈现某种必然的规律，也就是说，偶然在无限重复的条件下包含某种必然。

相关信息：

一次赌博的结果是随机的，而且一般来说，赌场的赢率并不是非常高，像21点，只有大概51%的赢率。

因此，仅仅一两次赌博，甚至连续十几次，你连续赢的可能性都是有的，但是随着次数越来越多，必然性像神迹一样开始显现。

用你赢的次数除以总次数，这个数字会越来越接近一个固定数字，这就是大数定律。拿21点来说，赌的次数越多，赢率会越来越接近51%。别小看这多出来的小小的1%的赢率，正是这一点赢率，让赌场赚走了无数的钱。

是的，正是“大数定律”保证了赌场老板的饭碗，只要还有人赌，赌场就可以永远赢下去。

大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理，如伯努利大数定理。

切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律三者的关系具体如下：

伯努利大数定律是300年前瑞士数学家伯努利潜心研究20年证明出来的，是人类历史上第一个严格证明的大数定律。它是辛钦大数定律的特殊情况，不过由于它有一定的历史意义并且二项分布的大数定律在日常生活中最为常见，所以编教材的人喜欢把这个大数定律单独列出来。

切比雪夫大数定律和辛钦大数定律针对的是两种不同的情况，谁也不是谁的特例。切比雪夫大数定律说的是一列独立变量（可以不同分布）的均值收敛到一个常数，但前提是每个变量的期望和方差均存在且有限，并且满足方差的平均值是样本数n的高阶无穷小这一额外条件。

辛钦大数定律是说一列独立同分布的随机变量的均值收敛到一个常数，条件是分布的绝对期望存在且有限就够了。对两个大数定律做一总结，就是切比雪夫大数定律不要求随机变量有相同分布但是成立的条件更加严格，辛钦大数定律要求同分布不过是在比较弱的条件下就成立。

简介：

关系是指人与人之间，人与事物之间，事物与事物之间的相互联系。关系可分为正式关系和非正式关系，非正式关系较正式关系更为古老和普遍。自20世纪30年代以来，在包括政治学、社会学、经济学及管理学等众多学科中，关系的非正式性受到了越来越多的重视。

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