世界十大著名不等式

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面为世界十大著名不等式。

平均不等式（均值不等式）

柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）

闵可夫斯基不等式

贝努利不等式

赫尔德不等式

排序不等式

含有绝对值的不等式

艾尔多斯—莫迪尔不等式

琴生不等式

排序不等式

以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，如果它们已变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式

经典不等式有以下23个：

琴生不等式

均值不等式

绝对值不等式

权方和不等式

赫尔德不等式

闵可夫斯基不等式

伯努利不等式

舒尔不等式

切比雪夫不等式

幂平均不等式

马尔可夫不等式

契比雪夫不等式

基本不等式

卡尔松不等式

几何不等式

外森比克不等式

克拉克森不等式

yu不等式

施瓦尔兹不等式

卡尔松不等式

三角不等式

erdos不等式

Milosevic不等式

等周不等式

芬斯拉不等式

嵌入不等式

杨氏不等式

车贝契夫不等式

马尔可夫不等式

典范类不等式

佩多不等式

四边形不等式

肖刚不等式

Arakelov不等式

卡拉玛特不等式

外森比克不等式

宫冈-丘不等式

柯西—施瓦茨不等式

柯西不等式

对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有

（x1y1+x2y2+…+xnyn)^2≤（x1^2+x2^2+…+xn^2）（y1^2+y2^2+…+yn^2）

柯西不等式的几种变形形式

1设xi∈R,yi>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=lai (i=1,2,3,…,n)时取等号

2设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等

排序不等式

又称排序原理。

对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，

记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。

当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时，等号成立。

QI琴生不等式

设f(x)为凸函数，则f((x1+x2++xn)/n)≤[f(x1)+f(x2)++f(xn)]/n(下凸);

设f(x)为凹函数，则f((x1+x2++xn)/n)≥[f(x1)+f(x2)++f(xn)]/n(上凸);

称为琴生不等式。

简均值不等式

Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

性绝对值不等式

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质：

1|ab| = |a||b|

|a/b| = |a|/|b| （b≠0）

2|a|<|b| 可逆 |b|>|a|

||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|，当且仅当 ab≤0 时左边等号成立，ab≥0 时右边等号成立。

另外有：|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1||b| = |a|+|b|

| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

概基本不等式

公式：(a+b)/2≥√(ab) (a≥0,b≥0)

（当且仅当a=b时，等号成立）

变形：ab≤[(a+b)/2]² (a≥0,b≥0)

（当且仅当a=b时，等号成立）

几几何不等式

Ptolemy（托勒密）不等式

若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC≥ AC×BD。（等号成立，A,B,C,D四点共圆）

Erdos（埃尔多斯）不等式

设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则：x+y+z≥2(p+q+r)

Weitzenberk（外森比克）不等式

若a,b,c为三角形三边长，S是三角形面积,

则：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S（等号成立当且仅当ABC为等边三角形）。

Euler（欧拉）不等式

设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形时取等号。

Fermat（费马）问题

在△ABC中，使PA+PB+PC为最小的平面上的P点称为费马点。当每个内角均小于120时，则与三边张角为120的P点为费马点。

等周不等式

①周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。

②周长一定的所有n边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正n边形的周长最小。

基赫尔德不等式

设S为测度空间，，及，设f在Lp(S)内，g在Lq(S)内。则f g在L1(S)内，即||fg||1<=||f||p||g||q，且有1/p+1/q=1。 若S取作{1,,n}附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）x1, , xn; y1, , yn，有：

(x1y1+x2y2+x3y3++xnyn)=< [(x1^p+x2^p+x3^p++xn^p)^1/p][(y1^p+y2^p+y3^p++yn^p)^1/q]

{xn},{yn}>=0[1]。 我们称p和q互为赫尔德共轭。

若取S为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。

当p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨不等式。

还有很多，具体证法网上都有。

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