2020年黑龙江省考行测数量关系之容斥问题

容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。其实也就是这样。

两集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B。 如果被计数的事物有A、B两类。那么所有属于A类或属于B类的元素个数总和=A类元素个数+属于B类元素个数-既属于A类又属于B类的元素个数。孩子如果还是很难搞清这些关系，那么家长可以用文氏图来给孩子讲解，直观很多。

三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么所有属于A类或属于B类或属于C类的元素的个数总数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-既是A类又是B类元素的个数-既是B类又是C类元素的个数-既是A类又是C类元素的个数+同时是A类B类C类元素的个数。

特殊的容斥关系公式：I-M=A+B+C-D-2E

例1 篮子里有苹果和梨两种水果若干个，将这些水果分发给13人，每人最少拿一个，最多拿两个不同的水果。已知有9个人拿到了苹果，有8人拿到了梨，最后全部分完。那么，有( )人只拿到了苹果。

A 4 B 5 C 6 D 7

答案B

解题思路

第一步，本题考查容斥问题中二集合容斥问题。

第二步，根据二集合容斥问题公式，可得9+8−13=4，表示有4个人两种水果都拿到了，那么只拿苹果的有9−4=5人。因此，选择B选项。

例2 有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有( )种

A 14 B 15 C 16 D 17

E 18 F 19 G 20 H 21

答案E

解题思路

第一步，本题考查容斥问题中的三集合标准型容斥原理。

第二步，按照三集合标准型容斥原理公式，直接设三种食品添加剂都不达标的为x种，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18。因此，选择E选项。

这个是简单的三元容斥问题，公式A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

喜欢足球A,喜欢篮球B,喜欢排球C,全班A∪B∪C

带入公式＝20+10+12-5-4-3+1=42-12+1=31

如果理解不清，画图把每个单独部分求出来相加就好了。

参看

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行测集合容斥公式是总数＝各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数。

行测集合解题技巧原理：三集合容斥属于咱们容斥原理的一部分，什么是容斥原理呐相信大家已经非常的熟悉了，所谓容斥原理，就是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

它的本质就是找到并去除重复的过程，在考试的时候大致可以分为二集合容斥和三集合容斥问题，这里给大家重点谈谈三集合相关的解题技巧，三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

行测集合的基本内容：

集合推理即命题利用集合的概念可以解释并由推理原则进行推理得出答案的过程，具体在题目中是以所有，凡是，有些，有的等这类词汇为特征，即所有，凡是包含了一个集合中所有的元素有些，有的则表示一个集合中的部分元素。这类题的知识点非常相似，且比较多，有些学员理解起来会比较繁杂，难记忆。

甚至会弄混淆相关知识点，最终花费时间较长，还出错率高。但是不要着急，可以先把集合推理的四个基本命题弄明白，就可以解决—半的集合推理题。

核心公式：

（1）两个集合的容斥关系公式：

A＋B＝A∪B＋A∩B

（2）三个集合的容斥关系公式：

A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

例题1：2004年中央A类真题

某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。

A．22 B．18 C．28 D．26

解析：设A＝第一次考试中及格的人（26），B＝第二次考试中及格的人（24）

显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28，

则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22

所以，答案为A。

例题2：2004年山东真题

某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有（ ）人

A57 B73 C130 D69

解析：设A＝会骑自行车的人（68），B＝会游泳的人（62）

显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73，

则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57

所以，答案为A。

例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？

解析：设A＝看过2频道的人（62），B＝看过8频道的人（34）

显然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人（11）

则根据公式A∪B＝A＋B－A∩B＝96－11＝85

所以，两个频道都没有看过的人数＝100－85＝15

所以，答案为15。

例题4：2005年中央A类真题

对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和**、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看**，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看**又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看**的有：

A．22人 B．28人 C．30人 D．36人

解析：设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看**的人（52）

A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）

B∩C＝既喜欢看**又喜欢看戏剧的人（16）

A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）

A∪B∪C＝看球赛和**、戏剧至少喜欢一种（100）

根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）

＝148－（100＋18＋16－12）＝26

所以，只喜欢看**的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C

＝52－16－26＋12

＝22

一、知识点

1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：

例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含与排除原理）：

（用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）

原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：

第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；

第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）

总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：

第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；

第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；

第三步：再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣

二、例题分析：

例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

解1：A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即|A|=10

B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即|B|=6

A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3

所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。

解2：本题可直观地用图示法解答

如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。

例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？

解：设A={数学成绩90分以上的学生}

B={语文成绩90分以上的学生}

那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，

∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少？

解：设A={打篮球的同学}；B={跑步的同学}

则 A∩B={既打篮球又跑步的同学}

A∪B={参加打篮球或跑步的同学}

应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51（人）

例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个？

分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。

解：设A={100以内的5的倍数}

B={100以内的7的倍数}

A∩B={100以内的35的倍数}

A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数}

则有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2

由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32

因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68（个）

点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。

例5 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人？

解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18

∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2

根据容斥原理二得：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

=23+27+18-（4+5+7）+2

=54（人）

解2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。

设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2（人）。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人）。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3（人）。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14（人）。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为；

14+20+8+2+5+3+2=54（人）

点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。

例6 学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看**。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看**）的有6人，既喜欢看**又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看**？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看**（但不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）

解法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如图）这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内（图中阴影部分），其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数要经过简单的计算）其中设既喜欢看**又喜欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即

16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100

解得 χ=14

只喜欢看**的人数为

36-14=22

解法2：设A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看戏剧的人}，C={喜欢看**的人}，依题目的条件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再设|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12

解得：х=14

∴36-14=22

所以既喜欢看**又喜欢看球赛的人数为14，只喜欢看**的人数为22。

点评：解法1没有用容斥原理公式，而是先分别计算出（未知部分设为х）各个部分（本题是7部分）的数目，然后把它们加起来等于总数，这种计算方法也叫“分块计数法”，它是利用图示的方法来解决有关问题，希望同学们能逐步掌握此类方法，它比直接用容斥原理公式更直观，更具体。

例7、某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人？

解：工人总数100，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。 利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为163，然后找出这一公共部分，即163-95=68

例8、某次语文竞赛共有五道题（满分不是100分），丁一只做对了（1）、（2）、（3）三题得了16分；于山只做对了（2）、（3）、（4）三题，得了25分；王水只做对了（3）、（4）、（5）三题，得了28分，张灿只做对了（1）、（2）、（5）三题，得了21分，李明五个题都对了他得了多少分？

解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+28+21=90。因此，五道题满分总和是90÷3=30。所以李明得30分。

例9，某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？

解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14（人）

1、a+b+c+d=I(只喜欢1者+只喜欢2者+3者都喜欢+3者都不喜欢=总集)

2、a+2b+3c=A+B+C(三个集合相加时，喜欢1者的部分加了1次，2者的部分加了2次，喜欢3者的部分加了3次)

3、b+3c=X+Y+Z(题目中的固定表达方式为喜欢A和B的有X人、喜欢A和C的有Y人，喜欢B和C的有Z人)

扩展资料：

用同一字母表示同一属性的区域。斜线部分：表示只喜欢一者，用“a”来表示;打点部分：表示只喜欢两者，用“b”来表示;空白部分：表示三者都喜欢，用“c”来表示;而集合外的部分表示三者都不喜欢，用“d”来表示。

题目中的每句话就可以列出一个式子，就可以达到机械化解题的效果，减少思考时间。因此，在考试的时候碰到容斥问题，是必拿分的题目。

要回答我这样求解为什么不对，为啥这样算结果是错的，

不妨从公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-C∩B-A∩C-A∩B∩C的推导入手，

从而准确把握公式中各个量的意义，从而发现问题。

（1）公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-C∩B-A∩C-A∩B∩C的推导

看图

A+B+C=A∪B∪C+蓝色的集合+2倍的绿色的集合

推导步骤：

整个图形是A∪B∪C

这个图形就等于A,B,C三集合相加再减去重合了的部分，

而重合了的部分有三个，分别是：A∩B,B∩C,A∩C

绿色的部分其实就是A∩B∩C,

但是如此一来绿色的部分就多减掉了。

所以后面要加回来

所以，

整个图形=A图+B图+C图-AB重合的-BC重合的-AC重合的+多减掉了的中间的。

翻译成数学语言就是

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C

结合本题，

（1）公式中对应的各个量的意义如下：

A:某班参加A项目的有63人,

B:参加B项目的有89人,

C:参加C项目的有47人;

问题找到了：

参加两个项目的有46人，

应为：（A∩B）∪（B∩C）∪（A∩C）；

而非：A∩B+C∩B+A∩C

A∪B∪C表示ABC三个圆圈覆盖的面积；A∩B∩C表示符合三个条件，在实际的解题中注意两点：

①有不符合ABC任意一项的，并未在图中展示

②A∩B是包含A∩B∩C，仅满足A∩B=A∩B-A∩B∩C，其他同理。

例如：X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是多少？

利用公式即可得知：设阴影部分的面积为A，根据图形的重叠情况，减去重叠部分的面积，可知：X＋Y＋Z－24－70－36＋A＝290。代入数据：

即：64＋180＋160－24－70－36＋A＝290得知：解得：A＝16。

以上就是关于2020年黑龙江省考行测数量关系之容斥问题全部的内容，包括:2020年黑龙江省考行测数量关系之容斥问题、请教一道数学容斥问题，聪明人麻烦帮忙解答一下。、行测集合容斥公式等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！