什么叫循环小数五年级上

　两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。一种，得到无限小数。

从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如21666（混循环小数），35232323（循环小数），20333333…（循环小数）等，被重复的一个或一节数字称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。例如：

2966666 缩写为 2 96（6上面有一个点；它读作“二点九六，六的循环”）

35232323…缩写为 3523（2、3上面分别有一个点；它读作“三十五点二三，二三的循环”）

循环小数可以利用等比数列求和（附链接：等比数列）的方法化为分数。例如图中的化法。

所以在数的分类中，循环小数属于有理数。

例如

循环小数的问题中，最著名的是0999…是否等于1的问题[1]代数方法为：

证明:

假设X=0999

∵

10X = 9999 0999

即

9x = 9

∴

x = 1

以上的推理过程都是比较严密的，并不是所谓03=1/3而09<1（这个才是最高级的证明，大家都要学会这种紧扣定义的证明方法，而不是这个看似严谨，其实缺乏严谨的证明）。在我们所使用的数学中， 09（9循环）=1。

lichangbai1947评论：这个证明有问题。因为没有注意无穷的复杂性。其实上面的证明有两个结果，一个是：

x=1

即上面已经得出的结果。但是如果从

10x=999

出发，把两边同时除以10，则得到的还是

x=0999

这两个结果中应该只有一个是正确的。很显然，x=0999的结果比x=1的结果更可信。没有仔细考察就对无穷进行推论是不合适的。

我已经证明了1不等于0999。

利用逻辑非常容易证明09…≠1。

请比较下面的两个式子：

1=1-1/10 (n→∞) (1)

1=1-1/10 + 1/10 (n→∞) (2)

这两个式子显然不完全相同，有差别。所以应该只有一个是正确的，不可能两个都是正确的。稍微细心一些，就会看出（11）式的右侧比（12）式的右侧少一个1/10。所以（12）式肯定是正确的，而（11）式就不成立。

但是（11）式的右侧就是09。

而认为1/10=0会导致任何数都相等

如果认为

1/10=0（它是认为09…=1的直接推论）（3）

而且认为它是严格的相等，则由于“严格地相等”可以无穷递推，即得到：

2×1/10=0， （4）

3×1/10=0， （5）

…

无穷地增加下去，总有一个时刻会得到：

10×1/10=0。 （6）

但是一个显然的事实是：（124）式的右侧等于1，而不是0。

再同样地推下去，则任意两个数都可以相等。这显然太荒谬了。

还可以利用计算的数值的结果证明。但是需要微积分。故略。可以查看李长白数学网的有关文章。

以上方法严格讲都是有缺陷的,真正的方法如下:

依照循环小数定义:

如1/3 在进行除法运算的时候,

在用三除的时候余下的一位为1,这样继续进行下去的时候,根据归纳可知,这个小数后面会有无数个3,而且都 是三,所以1/3 = 03 3循环

然后我们看09 9循环

我们用1/1来进行计算,不同的是,我们不要一次将1除尽,我们直接退位进行计算

第一步就是得09余01,这个没有问题,也不违反任何运算规则,

通过这样的方式计算,可以得出1/1通过除法运算的时候可以表示为09 9循环

即09 9循环等于1

证毕

没有用到极限(根本和循环小数无关的),和循环小数运算法则!

只用了分数除法,和循环小数定义!

特别注意的是　

无理数的定义是无限不循环小数，由此可以判定无限不循环小数是无理数（因为定义也是判定）。

循环小数化分数

将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同　

例如

01=1/9 01234=1234/9999

混循环：　将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同

例如：　01234=(1234-1)/9990 0558898=(558898-55)/999900

这个概念是错的

有限小数的小数位数是有限的

循环小数的小数位数是无限的

因此，有限循环小数这个说法本身就是错误的，希望有权限的编辑者对这个词条的定义进行更改。

相关的定义详见小学课本（五年级上学期的学习内容）

“从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数,叫做循环小数,如21666(混循环小数),35232323(循环小数),20333333…(循环小数)等,其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节。 循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去,而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。例如: 2966666 缩写为或(读作“二点九六,六循环”) 35232323…缩写为或(它读作“三十五点二三,二三循环”) 36568568……缩写为或(它读作“三十六点五六八,五六八循环”) 循环小数可以利用等比数列求和公式的方法化为分数,所以循环小数均属于有理数。”

什么是循环小数

1 当一个数的小数部分从某个位置开始时，一个或几个数依次重复的无限小数称为循环小数。圆形小数有圆形的部分(圆点)，可以转换成分数。

2 把两个整数。如果不能得到整数商，有两种情况:一是得到有限小数;另一种方法是得到无限小数。

3前一位或一段数字的小数点无限小数从小数点后的位置依次重复，称为循环小数，如21666…(混合循环十进制)，35232323…(循环小数),20333333……(循环小数)等，其中依次重复的数字称为循环小数。

两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。一种，得到无限小数。 从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如21666…，35232323…等，被重复的一个或一节数码称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数码全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点

小数可以分为有限小数和无限小数两类，而无限小数又分无限循环小数与无限不循环小数两类。

无限循环小数的定义：从小数点后某一位开始不断地出重复现前一个或一节数码的十进制无限小数。如21666、35232323等，被重复的一个或一节数码称为循环节。

无限循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数码全部略去，而在保留的循环节首末两位上方各添一个小点。例如，2166缩写为  ，（读作“二点一六，六循环”）。在数的分类中，无限循环小数属于有理数。

无限不循环小数的定义：有些小数虽然也是无限的但不循环。

相关如下：

实数是由有理数和无理数组成的，整数和分数统称有理数，它们是有限小数和无限循环小数，而把无限不循环小数叫做无理数。

小数的基本性质是：在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小不变。

在测量物体时，往往会得到不是整数的数。于是古人就发明了小数来补充整数。小数是十进分数的一种特殊表现形式。小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界线，小数点左边的部分是整数部分，小数点右边的部分则是小数部分。

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