黎曼函数在无理点处可导吗为什么 请简略说明一下.

不可导根据导数的定义来看@x表示增量若R(x+@x)中x+@x仍为无理数,那么其值为0则R(x+@x)-R(x)=0@x趋于0时lim0/@x=0存在极限若R(x+@x)中x+@x为有理数,那么R(x+@x)-R(x)=1/q为一定数@x趋于0时lim(1/q)/@x=无穷大,正常极限不存在所以综上来说,不可导

所谓黎曼函数R(x)，是定义在区间0~1上的一个构造函数： 当x是有理数p/q（p、q为互质整数）时,R(x)=1/q;当x是无理数时，R(x)=0 黎曼函数是由黎曼进行定义，用来作为数学分析中反例说明函数方面的待证性质的。 如：黎曼函数在（0，1）内所有无理数点处连续，在所有有理数点处间断。每一点处都存在着极限，且极限都是0（可见间断点都属第一类中的可去间断点）。这个函数在[0，1]上可积，它在[0，1]上的定积分为0，等等。 下面将对黎曼函数的间断点是第一类间断点中的可去间断点进行证明。

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关于黎曼ζ(s)函数的全定义积分式有两大类共四种：

1、第一类：ζ(s)的围道积分定义式是全定义的，只有一种，这在卢昌海的《黎曼猜想漫谈》中说明得很清楚

2、第二类：ζ(s)的区间积分定义式有三种：

（1）ζ(s)的椭圆级数全定义积分式由ζ(s)的椭圆级数半定义积分式(ReS＞1)通过解析开拓而得

（2）ζ(s)的黎曼变换对称积分式是全定义的，有对称性，由ζ(s)的椭圆级数半定义积分式(ReS＞1)进行黎曼变换而得

（3）ζ(s)的几何级数全定义积分式由ζ(s)的几何级数半定义积分式(ReS＞1)通过解析开拓而得

黎曼ζ(s)函数的半定义积分式和对称积分式，在《数学百科词典》中有详细的介绍其ζ(s)的椭圆级数全定义积分式和几何级数全定义积分式是本人在化简黎曼猜想的高等方程时发现的

在无理点是连续的,在除0,1外的有理点不连续：

先证黎曼函数在0,1点连续

下证对于任意一个正数a,总存在0的一个邻域{x|0<x<t}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|<a

对于邻域中的无理点显然成立存在整数n使(1/n)<a,则t取(1 n)}中的有理数,其分母="" n)对于{x|0<x n,otherwise,x>=(1/n),从而|f(x)-0|<(1/n)<a,从而黎曼函数在0点连续

下证对于任意一个正数a,总存在1的一个邻域{x|t<x<1}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|<a

对于邻域中的无理点显然成立存在整数n使(1/n)<a,则t取((n-1) n)<x n,otherwise,x<=((n-1)/n),从而|f(x)-0|<(1/n)<a,从而黎曼函数在1点连续

再证黎曼函数在所有有理点不连续

设这个有理数为(p/q),(p,q)=1下证对于任意一个正数a,总存在(p/q)的一个邻域{x|0<|x-(p/q)|<t}使得其中的任何一个数都满足:|f(x)-0| |(r/s)-(p/q)|

=|(rq-ps)|/|sq|>=1/|sq| => s>(1/qt),f((r/s))=(1/s)=""> |f(x)-0|<a,从而黎曼函数在(p q)点的极限为0, 而f(p/q)=1/p>0 => 黎曼函数在所有有理点不连续 </t}使得其中的任何一个数都满足:|f(x)-0| </a,从而黎曼函数在1点连续

</x<1}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|<a

</a,从而黎曼函数在0点连续

</x<t}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|<a

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