对数式

log2底（1／25）=log2底（1／5)^2=2log2底（1／5）

log3底(1／8)=log3底(1／2)^3=3log3底(1／2)

log5底(1／9)=log5底(1／3)^2=2log5底(1／3)

所以就有

12log2底（1／5)log3底(1／2)log5底(1／3)

然后用换底公式

随便换个底

分子和分母就可以 配成

12log2底(1/2)log3底(1／3)log5底(1／5)

每一个对数式都等于-1

所以就为-12

如果ab=N(a>0,a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做底数,N叫做真数。负数和零没有对数。对数由指数而来。对数式logaN＝b是由指数式ab＝N而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数。对数记号logaN只有在a＞0且a≠1，N＞0时才有意义。常用对数：定义：以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN。自然对数：以e＝271828…为底的对数叫做自然对数，logeN通常记作lnN。

运算法则公式如下：

1lnx+ lny=lnxy

2lnx-lny=ln(x/y)

3lnxⁿ=nlnx

4ln(ⁿ√x)=lnx/n

5lne=1

6ln1=0

拓展内容：

对数运算法则(rule of logarithmic operations）一种特殊的运算方法指积、商、幂、方根的对数的运算法则。

在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。 在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。

更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

如果ab＝N（a＞0，a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做底数，N叫做真数。负数和零没有对数。

关于对数概念的理解

对数由指数而来。对数式logaN＝b是由指数式ab＝N而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数。

用^表示

乘方

，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数

表示

乘号

，/表示

除号

定义式

：

若a^n=b(a0且a1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1a^(log(a)(b))=b

2log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推导

1这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=

用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数

表示乘号，/表示除号

定义式：

若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1a^(log(a)(b))=b

2log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推导

1这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)

2

MN=MN

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

又因为

指数函数

是

单调函数

，所以

log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

3与2类似处理

MN=M/N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)

4与2类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

其他性质：

性质一：

换底公式

log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

推导如下

N=a^[log(a)(N)]

a=b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)][log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以

b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)][log(b)(a)]}

所以

log(b)(N)=[log(a)(N)][log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}

所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

性质二：（不知道什么名字）

log(a^n)(b^m)=m/n[log(a)(b)]

推导如下

由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作

自然对数的底

]

log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m)=[nln(a)]/[mln(b)]=(m/n){[ln(a)]/[ln(b)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m/n[log(a)(b)]

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