直角三角形斜边中线定理是什么

直角三角形斜边中线定理：

直角三角形斜边中线定理是数学中关于直角三角形的一个定理，具体内容为：

如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

逆定理1

如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且该边是斜边。

几何语言：在△ABC中，AD是中线，且BC=2AD,则∠BAC=90°。

证法1

延长AD到E，使DE=AD,连接BE,CE

∵BD=CD，AE=2AD=BC

∴四边形ABEC是矩形（∵对角线互相平分且相等）

∴∠BAC=90°

证法2

过D作DE⊥AB,垂足为E。

∵AD=BC/2=BD

∴E是AB中点（三线合一）

∴DE∥AC（三角形中位线定理）

∴AC⊥AB,即∠BAC=90°

证法1：

δabc是直角三角形，作ab的垂直平分线n交bc于d

∴

ad=bd（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

以db为半径，d为圆心画弧，与bc在d的另一侧交于c'

∴dc’=ad=bd∴∠bad=∠abd

∠c’ad=∠ac’d

（等边对等角）

又∵∠bad+∠abd+∠c’ad+∠ac’d

=180°（三角形内角和定理）

∴∠bad+∠c’ad=90°

即：∠bac’=90°

又∵∠bac=90°

∴∠bac=∠bac’

∴c与c’重合（也可用垂直公理证明

：假使c与c’不重合

由于ca⊥ab，c’a⊥ab

故过a有ca、c’a两条直线与ab垂直

这就与垂直公理矛盾

∴假设不成立

∴c与c’重合）

∴dc=ad=bd∴ad是bc上的中线且ad=bc/2这就是直角三角形斜边上的中线定理

证法2：

δabc是直角三角形，ad是bc上的中线，作ab的中点e，连接de

∴bd=cb/2，de是δabc的中位线

∴de‖ac（三角形的中位线平行于第三边）

∴∠deb=∠cab=90°（两直线平行，同位角相等）

∴de⊥ab

∴de是ab的垂直平分线

∴ad=bd（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

∴ad=cb/2

证法3：运用向量证明

已知rt△abc中，∠bac=90°，ad是中线。求证bc=2ad

证明：设向量ac=b，向量ab=c，向量bc=a，向量ad=d

∵ad是bc的中线

∴c+b=2d

∴（c+b）²=4d²

展开括号，得|c|²+2c·b+|b|²=4|d|²

又∵c⊥b

∴c·b=0，|c|²+|b|²=|a|²

∴得|a|²=4|d|²

开方得|a|=2|d|，即bc=2ad

证法4：运用矩形的性质证明

延长ad到e,使de=ad,连接be,ce

∵bd=cd，∠bac=90°

∴四边形abec是矩形

∴bc=ae=2ad

证法5：解析几何证明

以a为原点，ac为x轴，ab为y轴建立直角坐标系，并设c（2c,0），b（0，2b），那么d（c，b）

|ad|=

|bc|===2|ad|

证法6：圆

作rt△abc外接圆

∵∠bac=90°

∴ab是直径（90°的圆周角所对的弦是直径）

∴d是圆心，ad是半径

∴bc=2ad

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