老师,立体几何证明只能用判定定理么那性质定理怎么办

比如全等三角形的判定定理和性质定理

判定定理是通过边角关系用来证明三角形全等的

性质定理是通过三角形全等来证明边角关系

本身判定和性质定理就是两个方向

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

三垂线定理要满足下面几个条件

1、b是平面α内一条直线

2、a是平面α的斜线，a在平面α内的射影是r

3、平面内直线b⊥a在平面α内的射影r

4、这才有结论a⊥b

所以第（1）题错在b不一定平面α内

同样第（2）题错在b垂直于a在β内的射影，是b垂直于a在α内的射影。

一直线与平面平行的（判定）

1判定定理平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行

2应用:反证法(证明直线不平行于平面)

二平面与平面平行的(判定)

1 判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

2关键：判定两个平面是否有公共点

三．直线与平面平行的（性质）

1性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行 2应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线

四．平面与平面平行的（性质）

1性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行

2应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行

五：直线与平面垂直的（定理）

1判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

2应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线（线面垂直→线线垂直）

六平面与平面的垂直(定理)

1一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

(或者做二面角判定)

2应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换

七平面与平面垂直的(性质)

1性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行

2性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

3性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)

以上,是立体几何的定理和性质整理是一定要记住的基本!!

基本概念

数学上，立体几何(solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称。 立体几何一般作为平面几何的后续课程。立体测绘(Stereometry)是处理不同形体的体积的测量问题。如：圆柱,圆锥, 圆台, 球, 棱柱，棱锥等等。 立体几何空间图形

毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。 立体几何形戒指

尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。

基本课题

课题内容

包括:

各种各样的几何立体图形(10张)- 面和线的重合 - 两面角和立体角 - 方块, 长方体, 平行六面体 - 四面体和其他棱锥 - 棱柱 - 八面体, 十二面体, 二十面体 - 圆锥，圆柱 - 球 - 其他二次曲面: 回转椭球, 椭球, 抛物面 ，双曲面

公理 (重点)立体几何中有4个公理 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行．

三垂线定理（重点）

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。

二面角

定义

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面）

二面角的平面角（重点）

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 平面角是直角的二面角叫做直二面角。 两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

二面角的大小范围（重点）

0≤θ≤π 相交时 0<θ<π，共面时 θ=π或0

二面角的求法（重点）

有六种： 1定义法 2垂面法 3射影定理 4三垂线定理 5向量法 6转化法

立体几何在历年的高考中有两到三道小题，必有一道大题。虽然分值比重不是特别大，但是起着举足轻重的作用。下面就如何学好立体几何谈几点建议。

一 立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处：

（1） 深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

（2） 培养空间想象力。

（3） 得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

二 培养空间想象力

为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形（如：直线和平面）、简单的几何体（如：正方体）开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

三 逐渐提高逻辑论证能力

立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出

四 “转化”思想的应用

我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

1 两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

2 异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

3 面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

4 三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

五 总结规律，规范训练

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。

还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。

六 典型结论的应用

在平时的学习过程中，对于证明过的一些典型命题，可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论，但其也会帮助我们打开解题思路，进而求解出答案。

平行

1平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行（线面平行1）

2两平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（线面平行2）

3如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线线平行1）

4如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（线线平行2）

5如果两条直线同垂直于一个平面，这两条直线平行（线线平行3）

6如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行1）

7垂直于同一条直线的两个平面平行。（面面平行2）

垂直

1如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线垂直于这个平面（线面垂直1）

2一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 （线面垂直2）

3如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（线面垂直3）

4如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个面内任何一条直线。（线线垂直）

5如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直）

三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。三垂线定理是立体几何的重要定理之一，由于定理中涉及三条与平面内已知直线有垂直关系的直线，故称为三垂线定理。

其实三垂线定理从证明的角度看，可以认为是线面垂直转化关系的一个常用推论。这是一个标准的从线线垂直（一般是共面）转化为线面垂直又转化为新的线线垂直（一般是异面）的立体几何推理过程。

但换一个观点和角度来看，三垂线定理的价值在于将一个需要进行多次转化而且模式基本确定的证明过程以定理的形式规范下来，这使得在相关的证明（之后还有计算）过程中书写难度得到有效降低，在部分复杂题目中更是如此。

而从很多立体几何题目设计的思路来看，经常会出现两条看似无关直线（一般是异面）的关系问题，一般方法是让他们在不同平面中分别找关系，然后利用一个桥梁进行沟通；三垂线定理正是提供了这样一个可以进行简便沟通的方式。

三垂线定理的用途

1、在做图中，做二面角的平面角。

2、在证明中，证明线线垂直。

3、在计算中，用归纳法归拢已知条件，便于计算。

扩展资料：

关于三垂线定理的应用，关键是找出平面（基准面）的垂线。至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的。　

从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂，二射，三证。

即第一，找平面（基准面）及平面垂线第二，找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线。第三，证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。

参考资料来源：百度百科——三垂线定理

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