范德蒙德行列式缺一行

利用加边的方法，少范德蒙行列式哪一行就加哪一行，然后旁边多加出一列。

例如行列式如下： （缺行的类似范德蒙行列式）

1 1 1 1

a b c d

a＾2 b＾2 c＾2 d＾2

a＾4 b＾4 c＾4 d＾4

我们利用加行的方法来解决这个问题．

加完行行列式变成5行5列,如下:

1 1 1 1 1

a b c d x

a＾2 b＾2 c＾2 d＾2 x＾2

a＾3 b＾3 c＾3 d＾3 x＾3

a＾4 b＾4 c＾4 d＾4 x＾4

这就成了标准的范德蒙行列式

利用行列式展开法则，按第5列展开，得到的展开式如下：

A15 ＋ （－A25） ＊ x ＋ A35 ＊ x＾2 ＋ （－D） ＊ x＾3 ＋ A55 ＊ x＾4 ［其中A为代数余子式，D为前面的四阶行列式的值］

由范德蒙行列式计算公式，得出该五阶行列式的值为：

（b－a）（c－a）（c－b）（d－a）（d－b）（d－c）（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）

它和上面的展开式相等，我们所需要的是行列式D的值，所以我们需要算的就是展开式中x＾3的系数，所以得出D＝（a＋b＋c＋d）（b－a）（c－a）（c－b）（d－a）（d－b）（d－c）

扩展资料：

范德蒙德行列式知识点见下图：

一个e阶的范德蒙行列式由e个数c₁，c₂，…，cₑ决定。

它的第1行全部都是1，也可以认为是c₁，c₂，…，cₑ各个数的0次幂，它的第2行就是c₁，c₂，…，cₑ（的一次幂），它的第3行是c₁，c₂，…，cₑ的二次幂，它的第4行是c₁，c₂，…，cₑ的三次幂，…，直到第e行是c₁，c₂，…，cₑ的e-1次幂。

参考资料来源：百度百科-范德蒙行列式

1、因为第四行第四列的数是65，矩阵不符合范德蒙行列式的一般形式，所以先进行拆分：

2、根据行列式性质：

若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

得：

3、根据范德蒙行列式结论和行列式计算性质：

扩展资料：

范德蒙德行列式知识点见下图：

一个e阶的范德蒙行列式由e个数c₁，c₂，…，cₑ决定。

它的第1行全部都是1，也可以认为是c₁，c₂，…，cₑ各个数的0次幂，它的第2行就是c₁，c₂，…，cₑ（的一次幂），它的第3行是c₁，c₂，…，cₑ的二次幂，它的第4行是c₁，c₂，…，cₑ的三次幂，…，直到第e行是c₁，c₂，…，cₑ的e-1次幂。

参考资料来源：百度百科-范德蒙行列式

关于范得蒙(Vandermonde)行列式 |1 1 1 1 | |a1 a2 a3 an | |a1^2 a2^2 a3^a an^2| | | = d | | | | |a1^(n-1) a2^(n-1) a3^(n-1) an^(n-1)| 行列式形式也可写成（更美观） |1 a1 a1^2 a1^(n-1)| |1 a2 a2^2 a2^(n-1)| | | | | | | |1 an an^2 an^(n-1)|

按第二方式写出的行列式第i行第j列元素可表示为 a（ij)=ai^(j-1) 这样的行列式就是范德蒙德行列式，其结果为: II(ai-aj) 1<=j<i<=n (‘<=’指小于等于，‘II’指连乘） 范德蒙德行列式为零的充分必要条件是a1,a2,a3an这n个数中至少有两个相等。 范德蒙德行列式的应用主要在线性代数中求解行列式的值以及计算线性方程组的解方面。

关于范得蒙 范德蒙（1735-1796），法国数学家。范德蒙在高等代数方面有重要贡献。他在1771年发表的论文中证明了多项式方程根的任何对称式都能用方程的系数表示出来。他不仅把行列式<span class=GramE>应用于解线性方程</span>组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，是行列式的奠基者。他给出了用二阶子式和它的余子式来展开行列式的法则，还提出了专门的行列式符号。他具有拉格朗日的预解式、置换理论等思想，为群的观念的产生做了一些准备工作。一种特殊的行列式以他的名字命名，但数学界有不同的看法，因为这一行列式并未出现在他的论文中。

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