德摩根定律是什么

1、德摩根定律是属于逻辑学的定律，德摩根定律(或称摩根定律)是形式逻辑中有关否定所描述的系统方式中的逻辑运算符对偶对的一系列法则，由此引出的关系也就被称为“德摩根二重性”。所以公式是，非(P且Q)＝(非P)或(非Q)，非(P或Q)＝(非P)且(非Q)。

2、摩根定律的实质即为拆添括号，在负号拿进拿出的过程中，还要注意∧与∨的变号。例如非(P且Q)＝(非P)或(非Q)，非(P或Q)＝(非P)且(非Q)变化为，—（p∧q）=—p∨—q，—（p∨q）=—p∧—q，从这个条件推出的结论中如果出现矛盾，则可以断定此条件为假，反之则为真。

德·摩根定律是关于命题逻辑规律的一对法则。德·摩根定律在数理逻辑的定理推演中，在计算机的逻辑设计中以及数学的集合运算中都起着重要的作用。 德摩根定律是形式逻辑中有关否定所描述的系统方式中的逻辑运算符对偶对的一系列法则。由此引出的关系也就被称为“德摩根二重性”。

这一定律的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究，同时巩固德摩根作为该规律发现者的地位。

一摩根定律1设全集为u,其子集为a,b则

摩根定律——交集的补集韦恩图

cu(a∪b)=cua∩cub,

cu(a∩b)=cua∪cub,

称为摩根定律又叫反演律

摩根定律用文字语言可以简单的叙述为:

两个集合的交集的补集等于它们各自补集的并集;

两个集合的并集的补集等于它们各自补集的交集

摩根定律——并集的补集韦恩图

2

摩根定律的一般形式设全集为u,其子集为ai,

i=1,2,3,…,n则

cu(∪ai)=∩cuai,

i=1,2,3,…,n

cu(∩ai)=∪cuai,

i=1,2,3,…,n

称为摩根定律又叫反演律

编辑本段二摩根定律的应用摩根定律实现了集合运算的汇集,转化,简化以及与逻辑命题的联系

1集集合的三大运算于一身,并可以使它们互相转化,尤其是交运算与并运算的转化

2可以把“补补交”三次运算，化简为“并补”两种运算等。

3在逻辑中，复合命题“p且q”，“p或q”的否定完全遵循摩根定律。

(1)非“p且q”非p或非q理解为非“p且q”是对“p且q”的否定即不是p,q都真,而是p,q至少一个假

(2)

非“p或q”非p且非q

理解为非“p或q”是对“p或q”的否定即不是p,q都至少一个真,而是p,q都假

编辑本段三应用举例u={x

|

x=3n

，x<30,n∈n},

cua∩b={615},

a∩cub={321}

,

cua∩cub={9，18，24}

求集合a

∩b

范例解答

如图

韦恩图

u=｛3,6,9,12,15,18,21,24,27｝，

cua∩cub={9，18，24}，

由摩根定律

cu(a∪b)=

{9，18，24}，

∴a∪b={3,6,12,15,21,27}。

又cua∩b={615}，

a∩cub={321}，

∴a∩b={12,27}。

编辑本段四德·摩根简介摘自<互动百科>词条”德·摩根”

德·摩根　augustus

de

morgan

(1806～1871)

德·摩根

19世纪英国数学家、逻辑学家。生于印度，出生后刚

7个月就回到英国。卒于伦敦。他在少年时代就对数学发生浓厚的兴趣，1823年考入剑桥大学三一学院，1827年毕业。1828年后在伦敦的大学学院任数学教授多年。他曾任伦敦数学学会第一届会长。

德

·

摩根对19世纪数学的发展作出了贡献。他于1838年提出以“数学归纳法”的概念描述以往数学家们曾经使用的证明定理的方法。1842年，他发表了《微积分演算》一文，详尽讨论微积分基本原理和极限定义，并讨论了无穷序列及确定序列收敛的新规则。他曾从事当时称为“形式代数”的研究，其成果有助于对复数的性质给出一个完全的几何解释。

德

·

摩根的主要成就在逻辑方面，主要逻辑著作是《形式逻辑》（1847）。他在逻辑史上首先提出“论域”的概念，第一次明确用公式表达合取和析取的关系，现代逻辑称之为德

·

摩根律。

他还最先提出了关于“大多数”的推理。他对逻辑的最主要贡献在于开拓了形式逻辑的新领域，建立了关系逻辑，有的学者称他为“关系逻辑之父”。他对关系的种类和性质作了研究，并使用了一些他自己所创造的符号。

德

·

摩根提出了一些重要的关系逻辑规律，以及一些推理形式等。

非(p

且

q)＝(非

p)或(非

q)

非(p

或

q)＝(非

p)且(非

q)

首先要明白：全称量词和存在量词互为对偶：

“对所有x，P(x)皆成立”等价于“不存在x，使P(x)不成立”；

“存在x，使P(x)成立”等价于“并非对所有x，P(x)都不成立”。

非(p

且

q)＝(非

p)或(非

q)

左边式子的意思就是，不存在x，使得p（x）和q（x）同时成立，根据全称量词和存在量词互为对偶：

得到对任意x，p（x）不成立或者q（x）不成立，

写成集合语言德摩根法则

非(p

且

q)＝(非

p)或(非

q)

非(p

或

q)＝(非

p)且(非

q)

首先要明白：全称量词和存在量词互为对偶：

“对所有x，P(x)皆成立”等价于“不存在x，使P(x)不成立”；

“存在x，使P(x)成立”等价于“并非对所有x，P(x)都不成立”。

非(p

且

q)＝(非

p)或(非

q)

左边式子的意思就是，不存在x，使得p（x）和q（x）同时成立，根据全称量词和存在量词互为对偶：

得到对任意x，p（x）不成立或者q（x）不成立，

写成集合语言就是非(p

且

q)＝(非

p)或(非

q)

所以就证明了第一个，

第二个根据对偶同理可得

就是非(p

且

q)＝(非

p)或(非

q)

所以就证明了第一个，

第二个根据对偶同理可得

德摩根定律是属于逻辑学的定律 德摩根定律(或称德摩根定理)是形式逻辑中有关否定所描述的系统方式中的逻辑运算符对偶对的一系列法则由此引出的关系也就被称为“德摩根二重性” 现在凭借我们的直觉想一下假定当且

狄摩根定律狄摩根定理(Demorgan’s Theorems):狄摩根是伟大的逻辑学家和数学家，他提出布林代数中二个重要的定理；第一定理是和的补数()等於补数的积()，第二定理是积()的补数等於补数的和()。狄摩根定理不只适用於二变数，同时它也适用於多变数。

在命题逻辑和逻辑代数中，德·摩根定律（或称德·摩根定理）是关于命题逻辑规律的一对法则。

奥古斯都·德·摩根首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系：

非(P 且 Q) = (非 P) 或 (非 Q)

非(P 或 Q) = (非 P) 且 (非 Q)

德·摩根定律在数理逻辑的定理推演中，在计算机的逻辑设计中以及数学的集合运算中都起着重要的作用。他的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究。这巩固了德摩根作为该规律的发现者的地位，尽管亚里士多德也曾注意到类似现象，且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知。

扩展资料：

在经典命题逻辑的外延中，此二元性依然有效(即对于任意的逻辑运算符，我们都能找他它的对偶)，由于存在于调节否定关系的恒等式中，人们总会引入作为一个算符的德·摩根对偶的另一个算符。

这导致了基于传统逻辑的逻辑学的一个重要性质，即否定范式的存在性：任何公式等价于另外一个公式，其中否定仅出现在作用于公式中非逻辑的原子时。

否定常型的存在推进了许多应用，例如在数字电路设计中该性质用于操纵逻辑门，以及在形式逻辑中该性质是寻找一个公式的合取范式和析取范式的必要条件。

电脑程序员们则用它们将一个类似于IF AND ( OR ) THEN 这样的复杂语句转变为其对等形式；它们也同样经常用于初等概率论中的计算。

参考资料来源：百度百科-德·摩根定律

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