三角形的五心及其性质是什么…

三角形五心定理

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

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一、三角形重心定理

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

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二、三角形外心定理

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：(

(c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c

)。

5、外心到三顶点的距离相等

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三、三角形垂心定理

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler

line））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明

已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F

，求证：CF⊥AB

证明：

连接DE

∵∠ADB=∠AEB=90度

∴A、B、D、E四点共圆

∴∠ADE=∠ABE

∵∠EAO=∠DAC

∠AEO=∠ADC

∴ΔAEO∽ΔADC

∴AE/AO=AD/AC

∴ΔEAD∽ΔOAC

∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度

∴∠ACF+∠BAC=90度

∴CF⊥AB

因此，垂心定理成立！

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四、三角形内心定理

三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c)

4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

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五、三角形旁心定理

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

旁心的性质：

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为二比一。

2、重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

3、重心到三角形三个顶点距离平方的和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，其横坐标为三角形三个顶点的横坐标之和的三分之一，其纵坐标为三角形三个顶点的纵坐标之和的三分之一。直角坐标系同理

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在三角形ABC中，若MA向量加MB向量加MC向量等于零向量 ，则M点为在三角形ABC的重心，反之也成立。

7、设三角形ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG等于向量OA加上向量OB加上向量OC的和的三分之一。

重心的性质及证明方法1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形abc，e、f是ab，ac的中点。ec、fb交于g。过e作eh平行bf。ae=be推出ah=hf=1/2afaf=cf推出hf=1/2cf推出eg=1/2cg2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。证明方法：在▲abc内，三边为a，b，c，点o是该三角形的重心，aoa1、bob1、coc1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，oa1=1/3aa1，ob1=1/3bb1，oc1=1/3cc1过o，a分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h

则，s(▲boc)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3s(▲abc)；同理可证s(▲aoc)=1/3s(▲abc)，s(▲aob)=1/3s(▲abc)

所以，s(▲boc)=s(▲aoc)=s(▲aob)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)

平面上任意一点为（x，y）

则该点到三顶点距离平方和为：

(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(x1+x2+x3)/3

纵坐标：(y1+y2+y3)/3

竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

中点的性质是：

1、等腰三角形三线合一（底边中点），直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；

2、三角形的中位线(三角形两边的中点的连线)平行且等于第三边的一半。

在线段AC上，若AF=CF，则F为AC中点，反之亦然。

扩展资料：

几何中的著名定理：

1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）

2、射影定理（欧几里德定理）

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。

4、四边形两边中心的连线与两条对角线中心的连线交于一点。

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点。

三角形重心的性质如下：

三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

性质证明

证明一

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

方法二 连接EF

利用三角形相似

求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC

利用中位线可证明EF=1/2BC

证明二

证明二

即EG=1/2CG

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O，A分别作a边上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可证S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 （等边三角形）

证法一：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x0，y0） 则该点到三顶点距离平方和为：

(x1-x0)2+(y1-y0)2+(x2-x0)2+(y2-y0)2+(x3-x0)2+(y3-y0)2

=3x02-2x0(x1+x2+x3)+3y02-2y0(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32

=3[x0-1/3(x1+x2+x3)]2+3[y0-1/3(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2

显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2

最终得出结论。

证法二：由性质8（卡诺重心定理）可得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

空间直角坐标系——X坐标：(X1+X2+X3)/3，Y坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，Z坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

图1

图1

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

证明：如图1所示，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。

∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S

∴aa'+bb'+cc'=2S

由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(2S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。

∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。

此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。

∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。

同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。

∴当a'b'c'最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

8、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2

证明：GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GAPGcos(AGP)

GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GBPGcos(BGP)

GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GCPGcos(CGP)

GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GAcos(AGP) + GBcos(BGP) + GCcos(CGP)]

延长射线AG,交BC于D,继续延长,使得GD = DE = AG/2

连接EB,EC,

四边形GBEC为平行四边形

EB = GC

延长射线PG,

过点B作PG的延长线的垂线,垂足为F

过点E作PG的延长线的垂线,垂足为H

BE与PG的延长线的交点为点Q

则,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF

GH = GEcos(EGH) = GAcos(AGP)

HF = EBcos(BQF) = GCcos(EQG) = GCcos(CGP)

而

GH + HF = GF = GBcos(BGF) = GBcos(PI-BGP) = -GBcos(BGP),

因此,

GAcos(AGP) + GBcos(BGP) + GCcos(CGP) = 0,

GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2

= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GAcos(AGP) + GBcos(BGP) + GCcos(CGP)]

= PA^2 + PB^2 + PC^2

利用上面的结论,

令P与A重合,有

GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2

= AB^2 + AC^2 (1)

令P与B重合,有

GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GB^2

= AB^2 + BC^2 (2)

令P与C重合,有

GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GC^2

= BC^2 + AC^2 (3)

(1),(2),(3)相加,有

3[GA^2 + GB^2 + GC^2] + 3[GA^2 + GB^2 + GC^2] = 2[AB^2 + BC^2 + AC^2],

GA^2 + GB^2 + GC^2 = [AB^2 + BC^2 + AC^2]/3 = (a^2 + b^2 + c^2)/3

得证

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