积化和差公式是什么，怎么推导出来的

积化和差公式是：

sinαcosβ=sin(α+β)+sin(α-β)/2

cosαsinβ   =sin(α+β)-sin(α-β)/2

sinαsinβ=cos(α-β)-cos(α+β)/2

cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β)/2

和差化积以及积化和差公式的推导非常简单。只要掌握

sin(α+β)、sin(α-β)、cos(α+β)、cos(α-β)

这种最基本的三角函数展开公式，就能轻松掌握8个公式的推导

首先、下面这几个都是高中的内容了，要熟稔于心

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ             ①

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ              ②

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ             ③

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ             ④

我们看积化和差公式，我们要找的积是

sinαcosβ、sinαsinβ这种。

看①②两个式子，sinαcosβ当作x   cosαsinβ当作y。那么①②两个式子就相当于一个方程组了，那么很容易就能解出sinαcosβ， cosαsinβ。同理式子 ③ ④也是

于是得到积化和差的公式

sinαcosβ=sin(α+β)+sin(α-β)/2

cosαsinβ   =sin(α+β)-sin(α-β)/2

sinαsinβ=cos(α-β)-cos(α+β)/2

cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β)/2

扩展资料：

得到积化和差的公式后，只要在做一个小的变换就能得到和差化积的公式了。令积化和差公式中的α+β=a，α-β=b。

则，α=(a+b)/2   β=(a-b)/2

积化和差公式改写为

sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[sina+sinb]/2

cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[sina-sinb]/2

sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[cosb-cosa]/2

cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[cosa+cosb]/2

然后把右边式子的/2移到左边去，把a用字母α，b用字母β代替

就得到了我们的积化和差公式。

参考资料：

降幂降角加括号。

相同变扣否变赛。

后面一角定乾坤。

加上减去不必说。

第一句：降幂降角加括号。表示积化和差时从乘积变成和差，降幂了。那么前面要乘1/2，并且加一个括号，也就是

第二句：相同变扣否变赛。意思是如果在积化和差时左侧是sinsin或者coscos这种同名形式，那么后面要变为两个cos；反之，如果是sincos或者cossin这种异名形式，那么后面要变为两个sin。也就是

第三句，后面一角定乾坤，意思是说在积化和差时积的第二个三角函数决定了和差中的加号或减号。如果是sinsin，cossin这种形式，乘积第二项是sin函数，那么和差取差；如果是sincos,coscos这种形式，乘积第二项是cos函数，那么和差取和。实际上很多三角函数中sin都和减号在一起，cos都和加号在一起。于是乎就变成了

第四句：加上减去不必说。意思是说：和差的三角函数里有两角和和两角差，这就不用说了吧。于是就变成了

扩展资料

对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sinsin时要添上一个负号。

对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。

积化和差的记忆口诀为“口口之和仍口口，赛赛之和赛口留。口口之差负赛赛，赛赛之差口赛收”。

口即为余弦值cos，赛即为正弦值sin。积化和差公式是初等数学三角函数部分的一组恒等式，积化和差公式将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和的常数倍，达到降次的作用。

积化和差公式

1、sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]。

2、cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]。

3、cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]。

4、sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]。

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