2阶等差数列求和

an=an-a(n-1)+[a(n-1)-a(n-2)]++(a2-a1)+a1

=4n-20+[4(n-1)-20]++(42-20)+20

=4(2+3+,,,+n)-20(n-2)

=2n^2-18n+36

Sn=2(1^2+2^2++n^2)-18(1+2++n)+36n

=2[n(n+1)(2n+1)]/6-9n(n+1)+36n

=n(n+1)(2n+1)/3-9n(n+1)+36n

=(2n^3-24n^2+82n)/3

an=1+2++n=n(n+1)/2=(n^2+n)/2

所以Sn=a1+a2++an

=(1^2+1)/2+(2^2+2)/2++(n^2+n)/2

=[(1^2+2^2++n^2)+(1+2++n)]/2

=[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]/2

=n(n+1)(n+2)/6

注：公式：1^2+2^2+3^2++n^2=n（n+1）(2n+1)/6

证明：

给个算术的差量法求解：

我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3m^2 + 3m + 1，可以得到下列等式：

2^3 - 1^3 = 31^2 + 31 + 1

3^3 - 2^3 = 32^2 + 32 + 1

4^3 - 3^3 = 33^2 + 33 + 1

(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1

以上式子相加得到

(n+1)^3 - 1 = 3Sn + 3n(n+1)/2 + n

其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + + n^2

化简整理得到：

Sn = n(n + 1)(2n + 1)/6

设有等差数列{an},取bn=an+1-an,则称{bn}为{an}的一阶差分等差数列

同理,取cn=bn+1-bn=an+2-2an+1+an,则称{cn}为{an}的二阶差分等差数列

解答：1

2

5

10

17

是二阶等差数列

且二阶等差数列公差d=2。

二阶等差数列为：1、3、5、7、9、11（2n-1）

希望能对你有所帮助，谢谢采纳

an

= n(n+1)/2

=(1/6)[ n(n+1)(n+2) - (n-1)(n+1)(n+2)]

Sn

=a1+a2++an

=∑(i:1->n) (1/6)[ i(i+1)(i+2) - (i-1)(i+1)(i+2)]

=(1/6)n(n+1)(n+2)

设数列{xn}令 △xn=xn+1-xn(n=1,2,3, … ) ,我们把这样的差△xn=xn+1-xn 叫做数列 {xn }的一阶差分，数列{△xn } 叫做数列{ xn }的一阶差分数列。

定义说明：（1） △xn =xn+1-xn

（2）一阶差分是相对概念

二级等差数列就是后一项减前一项后得到一组数，再用后项减前项 是一个常数，也就是说第二次相减后得到等差数列

最近我总结出了一个关于2阶等差数列的一般式,经多次验证,此一般式很可能正确,但不知是否有其他漏洞,且本人学历有限（刚刚初中毕业）,在高中课本上似乎有对数列进行过详细的讲解,可能有我不知道的些知识或术语,我也不知是否已有先人发现过这个一般式,请各位高手帮我检查一下,看不懂的人也可以把此公式拿去直接用,我初中数学做找规律的题时都是用的这个一般式,方便快捷且从未出过错一般式：nN=(n-1)n2-(n-2)n1+d

推导：首先我们来看一个找数列规律的题：1,3,6,10,15

(来个小插曲：解此类题我不像同学们那样去对每一个数进行分解找规律,那样必须要靠运气和纯智力且效率不高,通过以往的经验,我认定第N个数的值一定是个2次整式,我想：是否可以把第N个数看做是第N个数的值的2次函数呢于是就将2次函数一般式列出来：y=ax^2+bx+c,然后将x=1,y=1；x=2,y=3与x=3,y=6代入上式,解这个3元一次方程组,解得a,b,c的值,再将它们带回上式就得到了答案在大家实在无力去解决这类问题时,都可以运用上面的思想去解决问题,这也是一种方法）

言归正传：我们可以发现：3-1=2,6-3=3,10-6=4,15-10=5

从第3个数起的每一个数与前一位数的差减去前一位数与第前2位数的差的差值都为1

这个基本的等差数列性质就是我们的入手点,下面我们也只分析此类等差数列的一般式,这类数列第2位数与第1位数的差与第3个数起的每一个数与前一位数的差的差值减去前一位数与第前2位数的差不同,我们称这个差值为x,而称第3个数起的每一个数与前一位数的差减去前一位数与第前2位数的差的差值为d

我们列一个此类数列的一般形式：序号：1

2

3

4

5

N

数列：n1

n2

n3

n4

n5

nN

由此:x=n2-n1

d=n3-2n2+n1

现在让我们来看看n2以后的数能怎么表示出来：首先这个好理解:n2=n1+x=n1+n2-n1

从n3开始的每一个数都等于前面那个数加x加前面的d再加新增的1个,2个,3个……d

于是：n3=n2+x+d=n2+n2-n1+d=2n2-n1+d

n4=n3+x+d+d=n2+x+d+x+d+d=n2+2x+3d=n2+2n2-2n1+3d=3n2-2n1+3d

n5=n4+x+d+d+d=n2+2x+3d+x+3d=n2+3x+6d=n2+3n2-3n1+6d=4n2-3n1+6d

我们发现从n3起的每一个式子都有一个规律：n2的系数:序号：3

4

5

n

数值

2

3

4

n-1

n1的系数:序号：3

4

5

n

数值：1

2

3

n-2

(暂不看负号)

d的系数:序号：3

4

5

n

数值：1

3

6

(1/2)n^2-(7/2)n+1

从第n3起的每一个数都可以用含n2,n1,d的式子表达出来,而我们又知道了它们的系数和值,接下来就代入nN的式子中吧：->

nN=(n-1)n2-(n-2)n1+d

拓展与应用：上面我们只是讨论了2阶等差数列的一般式,那么其他阶数的数列呢通过上面推理得出的结论,我们直接可以推出一阶等差数列的一般式,因为一阶等差数列不含d,因此d等于0,一般式就为：nN=(n-1)n2-(n-2)n1而2阶以上的一般式就必须重新推导了,思路跟我上面的推导过程一样,只不过要解一些高次方程组,凭小弟所学的知识当然是没法解啦,有兴趣和能力的同学可以自己去尝试下我猜想,这些一般式中也存在一个规律,我们甚至可以根据这些规律找出第n阶等差数列的一般式,最后,我们就可以用这个一般式去找出所有等差数列的规律,而不管它是第几阶等差数列或许,在探索这些看似毫不相关的数字过程中我们甚至可以发现什么天大的秘密!

这种数列叫做二阶等差数列，即相邻两项的差为等差数列

an+1－an=3n，（n+1为下标）

降标后可得：an－an-1=3(n－1)

再降：an-1－an-2=3(n-2)

……

a2－a1=3

以上各式相加：an－a1=3+3×2+……+3（n－1）=3n(n－1)/2

又a1=2，所以an=3n(n－1)/2+2

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