椭圆的定义

题库内容：

椭圆的解释

[ellipse;elliptic]

一种 规则 的卵形线;特指平面两定点(焦点)的距离之和为一常数的所有点的轨迹 详细解释 亦作“ 椭圜 ”。长 圆形 。 清 姚鼐 《罗雨峰鬼趣图》 诗：“君看隙外光，穿落窗中壤，或方或椭圜，横斜直曲枉。” 杨沫 《 青春 之歌》 第一部第一章：“她的脸庞是椭圆的、白晳的， 晶莹 得好像透明的玉石。”

词语分解

椭的解释 椭 （椭） ǒ 〔椭圆〕长圆形。 （椭） 部首 ：木； 圆的解释 圆 （圆） á 从中心点到周边任何一点的距离都相等的形：圆形。圆圈。圆周。圆锥。圆柱。 完备，周全： 圆满 。圆全。 使之周全： 自圆其说 。圆谎。圆场。 占梦以决吉凶：圆梦。 宛转，滑利： 圆滑 。圆润。 运转

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其他定义

根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为e²-1〈前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a2/b2=1/（e2-1）〉，可以得出：

在坐标轴内，动点（x，y ）到两定点（ a，0 ）（-a，0）的斜率乘积等于常数m（-1<m<0）。

注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以x＝+-a无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

椭圆（Ellipse）是指数学上平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹曲线。 椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。[1]椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

中文名

椭圆

外文名

ellipse

别称

椭圆形

表达式

|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）

应用学科

数学

更多

椭圆简介

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。

椭圆在物理，天文和工程方面很常见。

定义

第一定义

平面内与两定点、的距离的和等于常数（）的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：

其中两定点、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。为椭圆的动点。

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为。

椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为。

可变为

椭圆定义说明

。

第二定义

椭圆平面内到定点（c，0）的距离和到定直线：（不在上）的距离之比为常数（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

其中定点为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是（焦点在x轴上），或（焦点在y轴上））。

其他定义

根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为（前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a²/b²=1/（e²-1）），可以得出：

在坐标轴内，动点（）到两定点（）（）的斜率乘积等于常数m（-1<m<0）。

注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

一、椭圆的第一定和第二定义

这是解题中经常会用到的，尤其是在数形结合的时候，往往使用后解题效率会大幅提高。

二、椭圆的各参数之间的关系（a,b,c） 这一点几乎每一题都要用到，需要牢记。

三、椭圆被直线所截线段的长度 通常是联立圆和直线的方程。得到关于x或者y的一元二次方程。然后用公式l=sqrt(1+k^2) |X1-X2| 或者 l=sqrt(1+(1/k)^2) |Y1-Y2| （k为直线斜率）

四、椭圆过(m,n)的切线方程为mx/a^+ny/b^2=1

扩展资料：

椭圆的俩长顶点与一短顶点所成的角大于椭圆上任一点与俩长顶点的连线

切线与法线的几何性质

定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，则∠APF1＝∠BPF2。

定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长)，或S=π(圆周zhi率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长)。

椭圆周长计算公式：L=T（r+R）。

T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。

关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：

半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f（c）=r tanα sin（c/r）。

r：圆柱半径；

α：椭圆所在面与水平面的角度；

c：对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）；

以上为证明简要过程，则椭圆（xcosα）^2+y^2=r^2的周长与f（c）=r tanα sin（c/r）的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的周长。

扩展资料：

椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。

因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。

参考资料：

椭圆性质：椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。

顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。

轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。

离心率范围：0<e<1。

离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

椭圆的标准方程

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

1、焦点在X轴时，标准方程为：

2、焦点在Y轴时，标准方程为：

椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是：-b²x0/a²y0，这个可以通过复杂的代数计算得到。

第一定义：

平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：|PF1|+|PF2|=2a其中两定点。其中F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距。

第二定义：

平面内到定点f的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）地点的集合（定点f不在定直线上，该常数为小于1的正数）

其中定点f为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在x轴上]；或者y=±a^2/c[焦点在y轴上]）。

其他定义：

根据椭圆的一条重要性质，也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为e^2-1。

可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况，还有k应满足<0且不等于-1。

扩展资料：

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。

参考资料：

椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。[1]

椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。[2]

椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

中文名

椭圆

外文名

Ellipse

别 称

椭圆形

表达式

|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）

应用学科

数学

适用领域范围

天文学

适用领域范围

解析几何学

几何类别

圆锥曲线

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