一维单原子链和一维双原子链色散关系的异同

一维原子链晶格振动是晶格振动理论的基础。本文假设一维双原子链中向一维单原子链转化时，对振动色散关系变化进行讨论。通过分析阐明了一维单原子链色散关系为一维双原子链的特殊情况，将两者的振动联系起来。

先假设是一个长度为L，含有N个边长为a的晶胞的晶体

一维双原子链：一个频率对应一个格波，而双原子链中波矢在[-兀/2a，兀/2a]的范围中可以取N个波矢（证明过程略），再加上每个波矢又对应光学支和声学支两个，所以有2N个频率，就有2N个格波。

一维单原子链：波矢在[-兀/a,兀/a]的范围内可以取N个波矢（证明略），每个波矢只会对应一个频率，所以有N个格波。

扩展资料：

通常把N个原胞的一维双原子链看成是无限长的双原子链中的一段。这样可采用周期性边界条件：

u(l,j)=u(l+N,j)，j=1,2,…

由此求得波矢的值：

q=2π/(Na)·m，m=0,1,2,…,N－1

因此在以q为变量的直线上，相邻两个q值点的间距为2π/(Na)=2π/L，L为链长。在(－π/a,0)范围内，q的取值有N个，等于晶体的原胞数目。双原子链的格波有两支，即光学波和声学波，因此格波的频率依ωi(q)共有2N个值，即有2N个模式的格波。

第i个模式的格波等效于同一频率ω振动的简谐振子，称i为简正模。按照量子理论，每个简谐振子的能量为(n+1/2)ћω，n=0,1,2,…，N=0的情况是谐振子的零点（振动）能量。ћωi为格波的能量量子，称为声子。

参考资料来源：百度百科-晶格动力学

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