全微分与偏导数的定义是什么

多元函数（以三元函数为例）u=f(x,y,z)如果可微，则全微分

du=f1(x,y,z)dx+f2(x,y,z)dy+f3(x,y,z)dz，

（这里f1、f2、f3分别表示u对x、y、z的偏导数

）f1(x,y,z)dx称为关于x的偏微分，f2(x,y,z)dy称为关于y的偏微分，f3(x,y,z)dz称为关于z的偏微分。

全微分符合叠加原理，即全微分等于各偏微分之和。

偏微分也可以作为偏增量的近似，例如：

f(x+△x，y，z）-f(x,y,z)≈f1(x,y,z)dx。

实际上，偏微分是对多元函数（三元或三元以上）求微分的一种方法。它与一元函数微分的作用类似，都可以反映函数的某些局部特征（图形的走势等）。

偏导数就是在一个范围里导数，如在（x0，y0)处导数。

全导数就是定义域为R的导数，如在实数内都是可导的。

在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

偏导数z=xy+y

对x求偏导z'=y

对y求偏导z'=x+1

全导数y=x^2

对x求偏导 y'=2x

求偏导时就把其它变量看作常数，字母代号即可，如Z=X^2+Y^2，

对X求偏导，Zx=2X，

对Y求偏导，Zy=2Y，

全导时对所有变量分别求导，如对Z求全导dZ=2Xdx+2Ydy

x方向的偏导

设有二元函数 z=f（x，y） 点（x0，y0）是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f（x，y） 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f（x0+△x，y0）-f（x0，y0）。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f（x，y） 在 （x0，y0）处对 x 的偏导数，记作 f'x（x0，y0）或函数 z=f（x，y） 在（x0，y0）处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f（x，y0）在 x0处的导数。

简介

全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。

编辑本段定义

给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程：

称为全微分方程，如果存在一个连续可微的函数F，称为势函数，使得：

“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数F(x0,x1,,xn − 1,xn)，全导数为：

编辑本段势函数

在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理：

给定以下形式的微分方程：

其中I和J在R2的单连通开子集D上是连续可微的，那么势函数F存在，当且仅当下式成立：

编辑本段解

给定一个定义在R2的单连通开子集D上的全微分方程，其势函数为F，那么D内的可微函数f是微分方程的解，当且仅当存在实数c，使得：

对于初值问题：

我们可以用以下公式来寻找一个势函数：

解方程：

其中c是实数，我们便可以构造出所有的解。

参考资料：

Boyce, W E and DiPrima, R C Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed New York: Wiley, 1986

Ross, C C §33 in Differential Equations New York: Springer-Verlag, 2004

Zwillinger, D Ch 62 in Handbook of Differential Equations San Diego, CA: Academic Press, 1997

1、含义上的区别

全导数：设z是u、v的二元函数z=f(u,v)，u、v是x的一元函数u=u(x)、v=v(x)，z通过中间变量u、v构成自变量x的复合函数。这种两个中间变量、一个自变量的多元复合函数是一元函数，其导数称为全导数。

全微分：表达式dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy，称为函数z=f(x,

y)

在(x,

y)处(关于Δx,

Δy)的全微分。

2、定理上的区别

全导数：一一型锁链法则在中间变量只有一个时可得；二一型锁链法则，设u=u(x)、v=v(x)在x可导，z=f(u,v)在相应点(u,v)有连续偏导数，则复合函数z=f(u(x),v(x))在x可导；三一型锁链法则，在中间变量多于两个时可得。

全微分：函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B；若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

3、特性上的区别

全导数的出现可以作为一类导数概念的补充，其中渗透着整合全部变量的思想。

全微分可推广到三元及三元以上函数。函数若在某平面区域D内处处可微时，则称这个函数是D内的可微函数。

参考资料来源：搜狗百科-全导数

参考资料来源：搜狗百科-全微分

全微分是对F（xy）=0的操作，所以等于0。

z=f(x,y)，如果z可微，那么它的全微分就是dz=Adx+Bdy=grad(z)dx。dx->0，dz->0，就这么个意思。

此外，当点(x,y)是驻点的时候，才有全微分为零：dz=0，也就是说grad(z)=0，这也就是求驻点的方法。

函数若在某平面区域D内处处可微时，则称这个函数是D内的可微函数，全微分的定义可推广到三元及三元以上函数。

扩展资料：

若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微。若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微。

如果f在点x处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

参考资料来源：百度百科--全微分

参考资料来源：百度百科--微分

全导数

全导数是在复合函数中的概念,

u=a(t),v=b(t)

z=f[a(t),b(t)]

dz/dt 就是全导数,这是复合函数求导中的一种情况,只有这时才有全导数的概念

dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt)

高等数学中,将为分放在了第一册,和导数放到一起,而全微分好像是在第二册什么是微分首先得从导数说起一次导数,就是求变化速度的问题,用来求解变化速度的快慢,从几何意义上讲就是斜率的问题,是微分的基础从表面上看,微分与导数的区别不大,因为我们平时在求微分的时候,运用的也是导数的基本公式,我们能看到的也只是表示上的区别,导数用f'(x)表示,而微分用dy表示要找出区别,还得从几何意义上来考虑一条直角坐标系中的曲线,某一点的导数代表的是曲线在这一点的斜率,而微分则表示在这一点处的一个无穷小量,这个无穷小量就是这一点处的函数值,即f(x),减去此处的斜率与一个很小的det(x)的乘积,用数学表达式来表示就是：dy=f(x)-f'(x)dx 说的简单一点就是：导数代表斜率,微分代表真实值与用导数近似之后的差值,是一个无穷小量图形你可以自己画一下,或者你的课本上也应该有,这是一个难点,也是关系到后面的知识的问题

下面说一下全微分在微分的学习中,我们接触的只是对一元一次方程或者是一元高次方程的求导,也就是说,函数值y只与变量x有关系学到后面,我们接触到了多元方程,函数值不仅仅与x有关,还与其他变量有关,例如：f(x)=3x-5y+7z这样,微分的概念在这里就变得模糊了,因为要表达函数值的变化情况,单单求其中一个变量已经不够了于是引进了偏微分与全微分的概念偏微分表示函数值在某“一个”方向上的变化情况,只需对其中的一个变量求微分即可；而全微分则是表示函数值对所有的变量的变化情况,需要对所有的变量求微分具体到求解的方法,你学到那里就自然明白了

总结：导数是微分的基础,微分是全微分的基础,微分只能解决一元函数的问题,是应用在二维坐标系的工具,全微分解决二元以及高元函数的问题,应用于三维以及高维坐标空间数学本来就是一门很抽象的学问,单凭我这么说,你也未必能看得很明白,多做一些这方面的题就会有更深层次的了解了,书读百遍,其义自现嘛!

完整微分就是全微分，相对于不完整积分而言的。

其定义为函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量△z=f(x+△x，y+△y)-f(x,y)可以表示为△z=A△x+B△y+o(ρ)，其中A、B不依赖于△x, △y，仅与x,y有关，ρ=((△x)^2+(△y)^2)^(-1/2)，函数o(ρ)是ρ的高阶无穷小。通俗的说就是o(ρ)=△z-(A△x+B△y)在ρ趋于0时也要趋于0。这样就可以说函数在此处可微分，其全微分为dz=A△x +B△y。

相对于偏微分而言如果所有变量的变化都考虑进去，所有变量变化所引起的整个函数的变化，则是全微分。

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