工程问题六年级数学解题技巧

工程问题六年级数学解题技巧如下：

解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

1、工作量＝工作效率 x 工作时间。

2、工作时间＝工作量÷工作效率。

3、工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）。

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

六年级数学应用题工程问题解题案例

例子：一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

解题思路：

设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6-1/8），二人合做时每小时完成（1/6+1/8）。因为二人合做需要（1÷(1/6+1/8）小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件。

一：基本数量关系：

1工效×时间=工作总量 2工作效率=工作总量÷工作时间 3工作时间=工作总量÷工作效率

二：基本特点：

设工作总量为“1”,工效=1/时间

三：基本方法：

算术方法、比例方法、方程方法

四：基本思想：

分做合想、合做分想

五：类型与方法：

一：分做合想:1合想,2假设法,3巧抓变化(比例),4假设法 二：等量代换：方程组的解法→代入法,加减法 三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配 四：休息请假： 方法：1分想：划分工作量2假设法：假设不休息 五：休息与周期： 1已知条件的顺序：①先工效,再周期,②先周期,再天数 2天数：①近似天数,②准确天数 3列表确定工作天数 六：交替与周期：估算周期,注意顺序! 七：注水与周期：1顺序,2池中原来是否有水,3注满或溢出 八：工效变化 九：比例：1分比与连比,2归一思想,3正反比例的运用,4假设法思想(周期) 十：牛吃草问题：1新生草量,2原有草量,3解决问题

编辑本段工程问题

当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也 需时间是 因此,在下面例题的讲述中,不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法,而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”,也许会使我们的解题思路更灵活一些 一、两个人的问题 标题上说的“两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体 ●例1 一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成,乙需要做几天可以完成全部工作 解一：把这件工作看作1,甲每天可完成这件工作的九分之一,做3天完成的1/3 乙每天可完成这件工作的六分之一,（1-1/3）÷1/6=4（天） 答：乙需要做4天可完成全部工作 解二：9与6的最小公倍数是18设全部工作量是18份甲每天完成2份,乙每天完成3份乙完成余下工作所需时间是 （18- 2 × 3）÷ 3= 4（天） 解三：甲与乙的工作效率之比是 6∶ 9= 2∶ 3 甲做了3天,相当于乙做了2天乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天） ●例2一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天 共做了6天后, 原来,甲做 24天,乙做 24天, 现在,甲做0天,乙做40=（24+16）天 这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替因此甲的工作效率 如果乙独做,所需时间是 50天 如果甲独做,所需时间是 75天 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天 ●例3 某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作,需48天完成现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天 先对比如下： 甲做63天,乙做28天； 甲做48天,乙做48天 就知道甲少做63-48=15（天）,乙要多做48-28=20（天）,由此得出甲的 甲先单独做42天,比63天少做了63-42=21（天）,相当于乙要做 因此,乙还要做 28+28= 56 （天） 答：乙还需要做 56天 ●例4一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）问开始到完工共用了多少天时间 解一：甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是 2+8+ 1= 11（天） 答：从开始到完工共用了11天 解二：设全部工作量为30份甲每天完成3份,乙每天完成1份在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作 （30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天） 解三：甲队做1天相当于乙队做3天 在甲队单独做 8天后,还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量相当于乙队要做2×3=6（天）乙队单独做2天后,还余下（乙队）6-2=4（天）工作量 4=3+1, 其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天 解四： 方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息,我们就假设他们在一起休息) 甲队每天工作量为1/10,乙为1/30,因为甲休息了2天,而乙休息了8天,因为8>2,所以我们假设甲休息两天时,乙也在休息那么甲开始工作时,乙还要休息：8-2=6(天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×6=6/10,剩下的工作量为1-6/10=4/10,而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量,所以,工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)÷(1/10+1/30)=3天所以从开始到完工共需：8+3=11(天） ●例5 一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天从开始到完成共用了16天问乙队休息了多少天 解一：如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是 （1÷20）×16+（1÷30）×16=4/3 由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3 乙队休息期间未做的工作量是 1/3-1/20×3=11/60 乙队休息的天数是 11/60÷(1/30)=11/2 答：乙队休息了5天半 解二：设全部工作量为60份甲每天完成3份,乙每天完成2份 两队休息期间未做的工作量是 （3+2）×16- 60= 20（份） 因此乙休息天数是 （20- 3 × 3）÷ 2= 55（天） 解三：甲队做2天,相当于乙队做3天 甲队休息3天,相当于乙队休息45天 如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数是 16-6-45=55（天） ●例6有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天,单独完成乙工作要20天如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天 很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高因此让李先做甲,张先做乙 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数）,张每天完成4份,李每天完成3份 8天,李就能完成甲工作此时张还余下乙工作（60-4×8）份由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天） 8+4=12（天） 答：这两项工作都完成最少需要12天 ●例7一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天,如果两人合作,他 要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少,那么两人要合作多少天 设这项工程的工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份 两人合作,共完成 3× 08 + 2 × 09= 42（份） 因为两人合作天数要尽可能少,独做的应是工作效率较高的甲因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是 （30-3×8）÷（42-3）=5（天） 很明显,最后转化成“鸡兔同笼”型问题 ●例8甲、乙合作一件工作,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时快 如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时 乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时,甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要33小时 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理但是,“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便 例8就是如此例8也可以整数化,当求出乙每 有一点方便,但好处不大不必多此一举 二、多人的工程问题 我们说的多人,至少有3个人,当然多人问题要比2人问题复杂一些,但是解题的基本思路还是差不多 ●例9一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成问甲一人独做需要多少天完成 设这件工作的工作量是1 甲、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成 答：甲一人独做需要90天完成 例9也可以整数化,设全部工作量为180份,甲、乙合作每天完成5份,乙、丙合作每天完成4份,甲、丙合作每天完成3份请试一试,计算是否会方便些 ●例10 一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作问总共用了多少天 甲做1天,乙就做3天,丙就做3×2=6（天） 说明甲做了2天,乙做了2×3=6（天）,丙做2×6=12(天）,三人一共做了 2+6+12=20（天） 答：完成这项工作用了20天 本题整数化会带来计算上的方便12,18,24这三数有一个易求出的最小公倍数72可设全部工作量为72甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3总共用了 ●例11 一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天问这项工程由甲独做需要多少天 丙2天的工作量,相当乙4天的工作量丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍）,甲、乙合作1天,与乙做4天一样也就是甲做1天,相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍 他们共同做13天的工作量,由甲单独完成,甲需要 答：甲独做需要26天 事实上,当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1,就知甲做1天,相当于乙、丙合作1天三人合作需13天,其中乙、丙两人完成的工作量,可转化为甲再做13天来完成 ●例12 某项工作,甲组3人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作 解一：设这项工作的工作量是1 甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成 甲组2人和乙组7人每天能完成 答：合作3天能完成这项工作 解二：甲组3人8天能完成,因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成,因此7人4天能完成 现在已不需顾及人数,问题转化为： 甲组独做12天,乙组独做4天,问合作几天完成 小学算术要充分利用给出数据的特殊性解二是比例灵活运用的典型,如果你心算较好,很快就能得出答数 ●例13 制作一批零件,甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个问丙车间制作了多少个零件 解一：仍设总工作量为1 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间制作的零件数目是 答：丙车间制作了4200个零件 解二：10与6最小公倍数是30设制作零件全部工作量为30份甲每天完成 3份,甲、乙一起每天完成5份,由此得出乙每天完成2份 乙、丙一起,8天完成乙完成8×2=16（份）,丙完成30-16=14（份）,就知 乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7 已知 甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8 综合一起,甲、乙、丙三人工作效率之比是 12∶8∶7 当三个车间一起做时,丙制作的零件个数是 2400÷（12- 8） × 7= 4200（个） ●例14 搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运最后两个仓库货物同时搬完问丙帮助甲、乙各多少时间 设搬运一个仓库的货物的工作量是1现在相当于三人共同完成工作量2,所需时间是 答：丙帮助甲搬运3小时,帮助乙搬运5小时 解本题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间本题计算当然也可以整数化,设搬运一个仓库全部工作量为 60甲每小时搬运 6,乙每小时搬运 5,丙每小时搬运4 三人共同搬完,需要 60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时） 甲需丙帮助搬运 （60- 6× 8）÷ 4= 3（小时） 乙需丙帮助搬运 （60- 5× 8）÷4= 5（小时） 三、水管问题 从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量单位时间里的注水量或排水量就是工作效率至于又有注入又有排出的问题,不过是工作量有加有减罢了因此,水管问题与工程问题的解题思路基本相同 例15 甲、乙两管同时打开,9分钟能注满水池现在,先打开甲管,10分钟后打开乙管,经过3分钟就注满了水池已知甲管比乙管每分钟多注入06立方米水,这个水池的容积是多少立方米 甲每分钟注入水量是 ：（1-1/9× 3）÷10=1/15 乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45 因此水池容积是：06÷（1/15-2/45）=27（立方米） 答：水池容积是27立方米 例16 有一些水管,它们每分钟注水量都相等现在打开其中若干根水管,经过预定的时间的1/3,再把打开的水管增加一倍,就能按预定时间注满水池,如果开始时就打开10根水管,中途不增开水管,也能按预定时间注满水池问开始时打开了几根水管 分析：增开水管后,有原来2倍的水管,注水时间是预定时间的1-1/3=2/3,2/3是1/3的2倍,因此增开水管后的这段时间的注水量,是前一段时间注水量的4倍 设水池容量是1,前后两段时间的注水量之比为：1：4, 那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是1/（1+4）=1/5 10根水管同时打开,能按预定时间注满水,每根水管的注水量是1/10,预定时间的1/3,每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30 要注满水池的1/5,需要水管1/5÷1/30=6（根） 前后两段时间的注水量之比为：1：[（1-1/3）÷1/3×2]=1：4 前段时间注水量是：1÷（1+4）=1/5 每根水管在预定1/3的时间注水量为：1÷10×1/3=1/30 开始时打开水管根数：1/5÷1/30=6（根） 答：开始时打开6根水管 例17 蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁两条排水管要灌满一池水,单开甲管需3小时,单开丙管需要5小时要排光一池水,单开乙管需要 4小,丁管需要6小时,现在水池内有六分之一的水,如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时,问多少时间后水开始溢出水池 分析： 此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙,它要往上爬30尺才能到达井口,每小时它总是爬3尺,又滑下2尺问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口 看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺）,但爬了27小时后,它再爬1小时,往上爬了3尺已到达井口 因此,答案是28小时,而不是30小时 以后（20小时）,池中的水已有,否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出 例18 一个蓄水池,每分钟流入4立方米水如果打开5个水龙头,2小时半就把水池水放空,如果打开8个水龙头,1小时半就把水池水放空现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空 先计算1个水龙头每分钟放出水量 2小时半比1小时半多60分钟,多流入水 4 × 60= 240（立方米） 时间都用分钟作单位,1个水龙头每分钟放水量是 240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米）, 8个水龙头1个半小时放出的水量是 8 × 8 × 90, 其中 90分钟内流入水量是 4 × 90,因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米） 打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13,除去每分钟流入4,其余将放出原存的水,放空原存的5400,需要 5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟） 答：打开13个龙头,放空水池要54分钟 水池中的水,有两部分,原存有水与新流入的水,就需要分开考虑,解本题的关键是先求出池中原存有的水这在题目中却是隐含着的 例19 一个水池,地下水从四壁渗入池中,每小时渗入水量是固定的打开A管,8小时可将满池水排空,打开C管,12小时可将满池水排空如果打开A,B两管,4小时可将水排空问打开B,C两管,要几小时才能将满池水排空 设满水池的水量为1 A管每小时排出 A管4小时排出 因此,B,C两管齐开,每小时排水量是 B,C两管齐开,排光满水池的水,所需时间是 答： B, C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完 本题也要分开考虑,水池原有水（满池）和渗入水量由于不知具体数量,像工程问题不知工作量的具体数量一样这里把两种水量分别设成“1”但这两种量要避免混淆事实上,也可以整数化,把原有水设为8与12的最小公倍数 24 17世纪英国伟大的科学家牛顿曾写过《普遍算术》一书,书中提出了一个“牛吃草”问题,这是一道饶有趣味的算术题从本质上讲,与例18和例19是类同的题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量,是完全类同的 例20 有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一样快12头牛4星期吃完第一块牧场上的草；7头牛9星期吃完第二片牧场的草问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草 吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数根据这一计算公式,可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位 原有草+4星期新长的草=12×4 原有草+9星期新长的草=7×9 由此可得出,每星期新长的草是 （7×9-12×4）÷（9-4）=3 那么原有草是 7×9-3×9=36（或者12×4-3×4） 对第三片牧场来说,原有草和18星期新长出草的总量是 这些草能让 90×72÷18=36（头） 牛吃18个星期 答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草 例20与例19的解法稍有一点不一样例20把“新长的”具体地求出来,把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算事实上,如果例19再有一个条件,例如：“打开B管,10小时可以将满池水排空”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系但仅仅是例19所求,是不需要加这一条件好好想一想,你能明白其中的道理吗 “牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现限于篇幅,我们只再举一个例子 例21 画展9点开门,但早有人排队等候入场从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多如果开3个入场口,9点9分就不再有人排队,如果开5个入场口,9点5分就没有人排队问第一个观众到达时间是8点几分 设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位 从9点至9点9分进入观众是3×9, 从9点至9点5分进入观众是5×5 因为观众多来了9-5=4（分钟）,所以每分钟来的观众是 （3×9-5×5）÷（9-5）=05 9点前来的观众是 5×5-05×5=225 这些观众来到需要 225÷05=45（分钟） 答：第一个观众到达时间是8点15分 挖一条水渠,甲、乙两队合挖要六天完成甲队先挖三天,乙队接着挖一天,可挖这条水渠的3/10,两队单独挖各需几天 分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30 2÷(3/10-1/6) =2÷4/30 =15(天) 1÷(1/6-1/15)=10(天) 答:甲单独做要15天,乙单独做要10天 一件工作,如果甲单独做,那么甲按规定时间可提前2天完成,乙则要超过规定时间3天才完成现在甲乙二人合作二天后,剩下的乙单独做,刚好在规定日期内完成若甲乙二人合作,完成工作需多长时间 解设:规定时间为X天(甲单独要X-2天,乙单独要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天) 1/(X-2)×2 + X/(X+3)=1 X=12 规定要12天完成 1÷[1/(12-2)+1/(12+3)] =1÷(1/6) =6天 答:两人合作完成要6天 例：一项工程,甲单独做63天,再由乙做28天完成,甲乙合作需要48天完成甲先做42天,乙做还要几天 答：设甲的工效为x,乙的工效为y 63x+28y=1 48x+48y=1 x=1/84 y=1/112 乙还要做（1-42/84）÷（1/112）=56（天） 例22有32吨货物,从甲城运往乙城,大卡车的载重量是5吨,小卡车的载重量是3吨,每种大、小卡车的耗油量分别是10升和72升,将这批货物运完,至少需要耗油多少吨 显然,为了省油,应尽量使用大卡车运,大卡车运6次,还剩2吨,所以剩下一次用小卡车运,耗油最少,共需610+72=672升

关于工程问题的公式如下：

工程问题是数学运算中的高频题型,主要考查工作总量、工作效率、工作时间这三个量之间的关系。 核心公式: 工作总量=工作效率x工作时间。

一般公式：工效×工时=工作总量；工作总量÷工时=工效；工作总量÷工效=工时。工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间。

工程是指以某组设想的目标为依据，应用有关的科学知识和技术手段，通过有组织的一群人将某个（或某些）现有实体（自然的或人造的）转化为具有预期使用价值的人造产品过程。

十八世纪，欧洲创造了“工程”一词，其本来含义是有关兵器制造、具有军事目的的各项劳作，后扩展到许多领域，如建筑屋宇、制造机器、架桥修路等。工程的主要依据是数学、物理学、化学，以及由此产生的材料科学、固体力学、流体力学、热力学、输运过程和系统分析等。

十八世纪，欧洲创造了“工程”一词，其本来含义是有关兵器制造、具有军事目的的各项劳作，后扩展到许多领域，如建筑屋宇、制造机器、架桥修路等。

我相信你一定能理解的!总有一天的!我相信~~……

我有例题你拉去看吧！

工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的：“工程问 题”，一般是把工作总量作为单位“1”，因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是：工作总 量÷工作效率＝工作时间。

下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进 行思路分析，并加以简要的评点，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。

例1 一项工程，由甲工程队修建，需要12天，由乙工程队修建，需要20天，两队共同修建需要多少 天？

〔思路说明〕 ①把这项工程的工作总量看作“1”。甲队修建需要12天，修建1天完成这项工程的1 ／12；乙队修建需要20天，修建1天完成这项工程的1／20。甲、乙两队共同修建1天，完成这项工程 的1／12＋1／20＝2／15，工作总量“1”中包含了多少个2／15，就是两队共同修建完成这项工 程所需要的天数。

1÷（1／12＋1／20）＝1÷2／15＝15／2（天）

②设这项工程的全部工作量为60（12和20的最小公倍数），甲队一天的工作量为60÷12＝5， 乙队一天的工作量为60÷20＝3，甲、乙两队合建一天的工作量为5＋3＝8。用工作总量除以两队合建 一天的工作量，就是两队合建的天数。

60÷（60÷12＋60÷20）＝60÷（5＋3）

＝60÷8＝15／2（天）

评点 这是一道工程问题的基本题，也是工程问题中常见的题型。上面列举的两种解题方法，前者比较简 便。这种解法把工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效 率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。

练习：一段公路，甲队单独修要10天完成，乙队单独修要12天完成，丙队单独修要15天完成，甲、 乙、丙三队合修，需要几天完成？

例2 一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，两队合做，多少天完成全部工程的3／4？

〔思路说明〕 ①把这项工程的工作总量看作“1”，甲队独做8天完成，一天完成这项工程的1／8； 乙队独做10天完成，一天完成这项工程的1／10。甲、乙两队合做一天，完成这项工程的1／8＋1／1 0＝9／40，工作总量“1”中包含多少个甲乙效率之和，就是甲乙合做所需要的天数。甲乙合做所需时间 的3／4，就是甲乙合做完成全部工程的3／4所需的时间。

1÷（1／8＋1／10）×3／4

＝1÷9／40×3／4＝10／3（天）

②把甲、乙两队合做的工作量3／4，除以甲、乙两队的效率之和1／8＋1／10＝9／40，就是甲 乙合做完成全部工程的3／4所需要的时间。

3／4÷（1／8＋1／10）＝3／4÷9／40＝10／3（天）

评点 思路①是先求出两队合做一项工程所需的时间，再用乘法求出完成全部工程的3／4所需的时间。 思路②是把“3／4”看作工作总量，工作总量除以两队效率之和，就可以求出完成全部工程的3／4所需的 时间。两种思路简捷、清晰，都是很好的解法。

练习：一项工程，单独完成，甲队需8天，乙队需12天。两队合干了一段时间后，还剩这项工程的1／ 6没完成。问甲、乙两队合干了几天？

例3 东西两镇，甲从东镇出发，2小时行全程的1／3，乙队从西镇出发，2小时行了全程的1／2。 两人同时出发，相向而行，几小时才能相遇？

〔思路说明〕 ①由甲2小时行全程的1／3。可知甲行完全程要2÷1／3＝6（小时）；由乙2小时 行全程的1／2，可知乙行完全程要2÷1／2＝4（小时）。求出了甲、乙行完全程各需要的时间，时间的 倒数便是各自的速度，进而可求出两人速度之和，把东西两镇的路程看作“1”，除以速度之和，就可求出两 人同时出发相向而行的相遇时间。

综合算式：

1÷（1／（2÷1／3）＋1／（2÷1／2））

＝1÷（1／6＋1／4）＝1÷5／12＝12／5（小时）

②由甲2小时行了全程的1／3，可知甲每小时行全程的1／3÷2＝1／6；由乙2小时行全程的1／ 2，可知乙每小时行全程的1／2÷2＝1／4。把东西两镇的路程“1”，除以甲、乙的速度之和，就可得 到两人同时出发相向而行的相遇时间。

综合算式：

1÷（1／3÷2＋1／2÷2）

＝1÷（1／6＋1／4）＝1÷5／12＝12／5（小时）

评点 本题没有直接告诉甲、乙行完全程各需的时间，所以求出甲、乙行完全程各需的时间或各自的速度 ，是解题的关键所在。

练习：打印一份稿件，小张5小时可以打完份稿件的1／3，小李3小时可以打完这份稿件的1／4，如 果两人合打多少小时完成？

例4 一项工程，甲、乙合做6天可以完成。甲独做18天可以完成，乙独做多少天可以完成？

〔思路说明〕 把一项工程的工作总量看作“1”，甲、乙合做6天可以完成，甲、乙合做一天，完成这 项工程的1／6，甲独做18天可以完成，甲做一天完成这项工程的1／18。把甲、乙工作效率之和，减去 甲的工作效率1／18，就可得到乙的工作效率：1／6－1／18＝1／9。工作总量“1”中包含了多少 个乙的工作效率，就是乙独做这项工程的需要的时间。

1÷（1／6－1／18）＝1÷1／9＝9（天）

评点 这是一道较复杂的工程问题，是工程问题的主要题型之一。主要考查同学们运用分数的基本知识及 工程问题的数量关系，解决实际问题的能力。解答这类工程问题的关键是：先求出独做的队或个人的工作效率 ，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。

有的同学在解这道题时，由于审题马虎，而且受基本工程问题解法的影响，错误地列成：1÷（1／6＋ 1／18），这是同学们应引起注意的地方。

练习：一批货物，用大小两辆卡车同时运送，5小时可以运完。如果用小卡车单独运，15小时可以运完 。问大卡车单独运几小时可以运完？

例5 加工一批零件，单独1人做，甲要10天完成，乙要15天完成，丙要12天完成。如果先由甲、 乙两人合做5天后，剩下的由丙1人做，还要几天完成？

〔思路说明〕 题目要求剩下的工作量由丙1人做，还要几天完成，必须知道剩下的工作量和丙的工作效 率。

加工一批零件，单独1人做，甲要10天完成，甲一天加工一批零件的1／10；乙要15天完成，乙一 天加工一批零件的1／15；丙要12天完成，丙一天加工一批零件的1／12。甲、乙合做一天，完成这批 零件的1／10＋1／15＝1／6，合做5天完成这批零件的1／6×5＝5／6，工作总量“1”减去甲 、乙合做5天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工作量除以丙的工作效率，就可以求出剩下的工作量 由丙1人做还要几天完成。

综合算式：

〔1－（1／10＋1／15）×5〕÷1／12

＝〔1－1／6×5〕÷1／12

＝1／6÷1／12＝2（天）

评点 这是一道较复杂的工程问题，是工程问题中的主要题型之一，也是升学或毕业考试中最常见的试题 之一。它的特点是求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“1”中 减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同学由于审题不细，又受前面几例工程问题的解法的影响 ，容易错误地列成：〔1÷（1／10＋1／15）×5〕÷1／12．

练习：加工一批零件，甲独做要8天完成，乙独做要7天完成，丙独做要14天完成，三人合作2天后， 甲因病休息，乙、丙两人继续合做还要几天完成？

例6 一件工程，甲、乙合作6天可以完成。现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙独做又用8天正好 做完。这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？

〔思路说明〕 一件工程，甲、乙合作6天可以完成，可知甲、乙合作1天完成这件工程的1／6，甲、 乙合作2天，完成这件工程的1／6×2＝1／3。用工作总量“1”减去甲、乙合作2天的工作量1／3， 所得的差1－1／3＝2／3，就是余下的工作量。又知余下的工程由乙独做用了8天正好做完，用余下的工 作量除以8，就可以求出1天的工作量，即乙的工作效率。把甲、乙工作效率之和减去乙的工作效率，就可得 到甲的工作效率。求出了甲的工作效率，只要把工作总量“1”除以甲的工作效率，就可得到甲独做这件工程 所需要的天数了。

综合算式：

1÷〔1／6－（1－1／6×2）÷8〕

＝1÷〔1／6－（1－1／3）÷8〕＝1÷〔1／6－2／3÷8〕

＝1÷〔1／6－1／12〕＝1÷1／12＝12（天）

评点 这也是一道复杂的工程问题。解题的关键是正确求出甲的工作效率。要求出甲的工作效率，解题的 步骤较多，只有熟悉和掌握工程问题的结构特点和解题思路，熟练掌握前面5道例题的解题方法及解题的技能 、技巧，才能正确顺利地解答本题。

练习：一项工程，甲、乙两队合做9天完成，乙、丙两队合做12天完成，现在甲、乙两队合做了3天， 接着乙、丙两队又合做了6天，最后由丙队单独12天完成了整个工程。如果整个工程由甲、丙两队合做需要 几天完成？

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如果说是压轴题的话一般都是出二次函数的动点题。

做这种题目最重要就是要利用相似来找出对应的边成比例，

然后把各个数据代入，求出某一条边用x表示的代数式，

剩下的就看题目变化而定。不过如果x表示某一边长，y表示一个大图形当中一个小图形的面积的话，基本方法有二，

一:作辅助线，利用相似比和面积比的关系求边关于x的代数式，再根据这个图形的面积计算公式列出关系式(如三角形是y=1/2·底·高)。

二,

也是需要作一下辅助线，求出关于x代数式，然后求出整个大图形的面积，减去除y以外的各部分面积之和，

列成x和y的函数关系式，然后化简。

这两种方法中我感觉后者会比较好用，

不妨多试试。

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