数学容斥问题

要回答我这样求解为什么不对，为啥这样算结果是错的，

不妨从公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-C∩B-A∩C-A∩B∩C的推导入手，

从而准确把握公式中各个量的意义，从而发现问题。

（1）公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-C∩B-A∩C-A∩B∩C的推导

看图

A+B+C=A∪B∪C+蓝色的集合+2倍的绿色的集合

推导步骤：

整个图形是A∪B∪C

这个图形就等于A,B,C三集合相加再减去重合了的部分，

而重合了的部分有三个，分别是：A∩B,B∩C,A∩C

绿色的部分其实就是A∩B∩C,

但是如此一来绿色的部分就多减掉了。

所以后面要加回来

所以，

整个图形=A图+B图+C图-AB重合的-BC重合的-AC重合的+多减掉了的中间的。

翻译成数学语言就是

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C

结合本题，

（1）公式中对应的各个量的意义如下：

A:某班参加A项目的有63人,

B:参加B项目的有89人,

C:参加C项目的有47人;

问题找到了：

参加两个项目的有46人，

应为：（A∩B）∪（B∩C）∪（A∩C）；

而非：A∩B+C∩B+A∩C

容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。其实也就是这样。

两集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B。 如果被计数的事物有A、B两类。那么所有属于A类或属于B类的元素个数总和=A类元素个数+属于B类元素个数-既属于A类又属于B类的元素个数。孩子如果还是很难搞清这些关系，那么家长可以用文氏图来给孩子讲解，直观很多。

三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么所有属于A类或属于B类或属于C类的元素的个数总数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-既是A类又是B类元素的个数-既是B类又是C类元素的个数-既是A类又是C类元素的个数+同时是A类B类C类元素的个数。

特殊的容斥关系公式：I-M=A+B+C-D-2E

例1 篮子里有苹果和梨两种水果若干个，将这些水果分发给13人，每人最少拿一个，最多拿两个不同的水果。已知有9个人拿到了苹果，有8人拿到了梨，最后全部分完。那么，有( )人只拿到了苹果。

A 4 B 5 C 6 D 7

答案B

解题思路

第一步，本题考查容斥问题中二集合容斥问题。

第二步，根据二集合容斥问题公式，可得9+8−13=4，表示有4个人两种水果都拿到了，那么只拿苹果的有9−4=5人。因此，选择B选项。

例2 有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有( )种

A 14 B 15 C 16 D 17

E 18 F 19 G 20 H 21

答案E

解题思路

第一步，本题考查容斥问题中的三集合标准型容斥原理。

第二步，按照三集合标准型容斥原理公式，直接设三种食品添加剂都不达标的为x种，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18。因此，选择E选项。

请参照

三集合非标准型容斥原理：

A+B+C-(A∩B+B∩C+A∩C)+A∩B∩C=总数-都不满足

A+B+C-只满足两个条件-2A∩B∩C=总数-三条件都不满足

A+B+C=只满足一个条件+2只满足两个条件+3满足三条件

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