“立方和、立方差”公式是什么

a^3-b^3=(a-b)^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b)

=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)

有立方和公式及其推广:

(1) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

立方和公式

a^3+b^3=(a+b) (a^2-ab+b^2）

折叠立方差公式

a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2）

折叠3项立方和公式

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

推导过程：

a^3+b^3+c^3-3abc

=(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3+c^3）-（3abc+3a^2 b+3ab^2）

=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2）-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

折叠编辑本段文字表达

折叠立方和，差公式

两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）

折叠3项立方和公式

三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍

折叠编辑本段公式证明

⒈迭代法：

我们知道：

0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0++n^0=n

1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1）/2 即1^1+2^1++n^1=n(n+1）/2

2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1）（2N+1）/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。

取公式：（X+1）^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

（N+1）^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴

N^4-(N-1）^4=4(N-1）^3+6(N-1）^2+4(N-1）+1…………⑵

（N-1）^4-(N-2）^4=4(N-2）^3+6(N-2）^2+4(N-2）+1…………⑶

…………

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………（n)

于是⑴+⑵+⑶+……+(n）有

左边=(N+1）^4-1

右边=4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N

所以呢

把以上这已经证得的三个公式代入

4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N=(N+1）^4-1

得4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+N(N+1）（2N+1）+2N(N+1）+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2）

即

1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2

大功告成！

立方和公式推导完毕

1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2

2 因式分解思想证明如下：a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b　

=a^2(a+b)-b(a^2-b^2）=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2）

折叠编辑本段公式延伸

正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1） / 2]^2=（1+2+……+n)^2

折叠编辑本段几何验证

立方和公式透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：

x^3+y^3

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

（x+y)^3

要得到x^3+ y^3，可使用（x + y)^3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

·x×y×（x+y)

·x×（x+y）×y

·（x+y）×x×y

把三个部分加在一起，便得：

=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)

=3xy(x+y)

之后，把（x + y)^3减去它，便得：=(x+y)^3-3xy(x+y）公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

=(x+y)[(x+y)^2-3xy]

（x + y)^2可透过和平方公式，得到：

=(x + y)(x ^2+ 2xy + y^2-3xy)

=(x + y)(x ^2− xy + y^2）

这样便可证明：x^3+y^3=(x + y)(x^2 − xy + y^2）  

折叠编辑本段关于因数

一般而言，任取一自然数N，他的因数有1，n1,n2,n3，……，nk,N，这些因数的因数个数分别为1，m1,m2,m3，……，mk,k+2，则

1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2）^3

=（1+m1+m2+m3+……+mk+k+2）^2

我们发现，上述规律对素数p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p，因数的个数只有1和2，所以成立。

合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。

比如120，有因数

1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；它们的因数个数为

1，2，2，3，2，4，4，4，6，4，6，8，8，8，12，16，

1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+8^3+8^3+12^3+16^3=8100

（1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16）^2=8100

1、立方和公式a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)的证明。

证明：

因为a^3+b^3=a^3-ab^2+ab^2+b^3

=(a^3-ab^2)+(ab^2+b^3)

=a(a^2-b^2)+b^2(a+b)

=a(a+b)(a-b)+b^2(a+b)

=(a+b)(a^2-ab)+(a+b)b^2

=(a+b)(a^2-ab+b^2)

所以a^3+b^3=a^3-ab^2+ab^2+b^3得证。

2、立方差公式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)的证明。

证明：

因为a^3-b^3=a^3-ab^2+ab^2-b^3

=(a^3-ab^2)+(ab^2-b^3)

=a(a^2-b^2)+b^2(a-b)

=a(a+b)(a-b)+b^2(a-b)

=(a-b)(a^2+ab)+(a-b)b^2

=(a-b)(a^2+ab+b^2)

所以a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)得证。

扩展资料：

1、公式因式分解法

（1）平方差公式

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

（2）完全平方和公式

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

（3）完全平方差公式

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

2、提公因式因式分解法

（1）找出公因式。

（2）提公因式并确定另一个因式。

如4xy+3x=x（4y+3）

3、因式分解的原则

（1）分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

（2）分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

参考资料来源：百度百科-因式分解

立方差公式也是数学中，最常用公式之一，此公式在数学学习中占有很重要的地位，甚至在高等数学中也经常用到，具体为： 两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

立方差公式也是数学中，最常用公式之一，大约在初中二年级接触该公式（现已被删去），但公式在以后数学学习中仍占有很重要的地位，甚至在高等数学中也经常用到，具体为：　两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。即a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

推导过程

1　证明如下： 立方差（a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

所以a^3-b^3=（a-b）^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b)

=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)

2（因式分解思想）证明如下：a^3-b^3=a^3-a^2b-b^3+a^2b

=a^2(a-b)+b(a^2-b^2)=a^2(a-b)+b(a+b)(a-b)=

=(a-b)[a^2+b(a+b)]=(a-b)(a^2+ab+b^2)

推论

类似地,我们有立方和公式及其推广：

(1) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

(2) a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)×b++(-1)^(r-1)×a^(n-r)×b^(r-1)++b^(n-1)](n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数) (后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。

a^n表示a的n次方。

(摘自百度百科）

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