什么事等差数列什么是 等比数列

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做 等差数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做 等比数列

①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”

③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则

（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…

（can），c是常数，（anbn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成anq/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

等差数列：递增数列 d>0

等比数列：如果是正数数列，则q>1

如果是负数数列，则0<q<1

等差 数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用 字母d表示。

等比数列是前一项除以后一项等于一个固定常数q

通项公式an＝a1·q(n－1),

等差数列是前一项与后一项的差是常数

等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d

等比数列是指前一个数和后一个数的比相同,

如:1,3,9,27，……

等差数列是指前一个数和后一个数的差相同，

如：1，4，7，10，13，，16，……

等比数列是前一项除以后一项等于一个固定常数q

通项公式an＝a1·q(n－1),

等差数列是前一项与后一项的差是固定常数

等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d

一个差相等，一个比相等

等比数列就是后一项比前一项的比值都一样的数列，这个比值叫做公比q

比如1 2 4 8 16公比就是2

又比如1/3 1/9 1/27 1/81公比就是1/3

设通项是an(就是第n项)，则a(n+1)=qan

那么求和记为

Sn=a1+a2++an (1)

两边同乘以q，

qSn=q(a1+a2++an) =a2+a3++an+qan（2）乘以q后每个a的角标就要+1

（1）-（2）式得到

(1-q)Sn=qan-a1=qa1q^(n-1)-a1=a1(1-q^n) 这里an=a1q^(n-1)

所以Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

用例题来理解等比数列。

先看看等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比。

来看下面这道题：

例1求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。

通过观察，会发现这个数列的后一项比上前一项都是2。

2÷1=2；

4÷2=2；

8÷4=2；

……

1024÷512=2。

所以这个题目就是典型的等比数列求和题，

公比是2。

例1中，如果拿笔硬算会十分麻烦，而且容易出错。

在这里G老师分享一个计算等比数列求和题目时经常用到的一个方法。

☞ 错位相减法

令A=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024，

G老师让A这个式子再乘以数列的公比，

会得到什么呢？

2A=2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048，

这样我们构造出了一个新数列，

而且这个数列的和等于原数列乘以公比。

再将两个式子相减，

G老师纯手写

左边是2A-A=A；

右边是2048-1；

等式右边其余的项都已经抵消了。

这样我们就得出结果了，

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047

再来看看下面这道题

例2计算3+9+27+81+243+729+2187

分析：这题是等比数列求和，公比是3，共有7项。采用错位相减法，让等式乘以它的公比。

令A=3+9+27+81+243+729+2187；

则 3A=9+27+81+243+729+2187+6561；

两式相减，

3A-A=2A=6561-3

2A=6558

A=6558÷2=3279

所以，

3+9+27+81+243+729+2187=3279

总结一下，等比数列的一般规律。

等比数列中，

公比=后一项÷前一项；

末项的值=首项x公比的(n-1)次方（n代表项数）。

注意：公比的(n-1)次方=(n-1)个公比相乘

如例2中，末项是2187，首项是3，项数n=7。

2187=3x3^(7-1)

等比数列的和=(末项x公比-首项)÷(公比-1)

（由错位相减法得出）

等比数列就是后一项比前一项的比值都一样的数列，这个比值叫做公比q

比如1

2

4

8

16公比就是2

又比如1/3

1/9

1/27

1/81公比就是1/3

设通项是an(就是第n项)，则a(n+1)=qan

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