什么是施密特正交化

施密特（Schimidt）正交化

将任意给定的线性无关的非零向量组             

化为正交向量组的方法

第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化

第二步：单位化

Linear Algebra

截图《Linear Algebra》

施密特正交化括号里算法：如果施密特正交化中单位化中双括号里是向量的模长的话,应该是把向量的各个分量先平方再相加。如果指的向量的内积,那就是把两个向量对应分量相乘再相加。

施密特正交化括号里算法施密特正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的模长吧,如果是向量的模长的话,应该是把向量的各个分量先平方再相加,然后再开算数平方根,就是模长了。

而如果施密特正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的内积,那就是把两个向量对应分量相乘再相加,就是内积了。

施密特正交化施密特正交化，是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

施密特正交化方法，就是将一组线性无关的向量组，变成一组正交的向量组的方法。通过这个方法，可以将一个线性空间的基，变成一组正交基（orthogonal basis），甚至标准正交基（或规范正交基，orthonormal basis ）。这一方法的理论基础就是投影定理。它的方法如下：

设

(

v

1

,

v

2

,

⋯

,

v

p

)

(v1,v2,⋯,vp) 是一组线性无关的向量组，我们令

b

1

=

v

1

b

2

=

v

2

−

v

2

⋅

b

1

|

|

b

1

|

|

2

b

1

b

3

=

v

3

−

v

3

⋅

b

2

|

|

b

2

|

|

2

b

2

−

v

3

⋅

b

1

|

|

b

1

|

|

2

b

1

⋯

b

p

=

v

p

−

p

−

1

∑

i

=

1

v

p

⋅

b

i

|

|

b

i

|

|

2

b

i

b1=v1b2=v2−v2⋅b1||b1||2b1b3=v3−v3⋅b2||b2||2b2−v3⋅b1||b1||2b1⋯bp=vp−∑i=1p−1vp⋅bi||bi||2bi

那么，

(

b

1

,

b

2

,

⋯

,

b

p

)

(b1,b2,⋯,bp) 是一组正交向量组。进一步，令

e

1

=

b

1

|

|

b

1

|

|

,

e

2

=

b

2

|

|

b

2

|

|

,

⋯

,

e

p

=

b

p

|

|

b

p

|

|

e1=b1||b1||,e2=b2||b2||,⋯,ep=bp||bp||

则

(

e

1

,

b

2

,

⋯

,

b

p

)

(e1,b2,⋯,bp) 是一组f规范正交向量组或标准正交组。

P

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