怎么证明切线

1，一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。（切线判定定理）\x0d\2， 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。（切线的判定定理）\x0d\几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上\x0d\∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）\x0d\此外有关切线的推论有：1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点；2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

其实一条直线要成为圆的切线,那么必须符合的条件很简单,直线和圆有且仅有一个相交点,或者圆心到直线的距离等于圆半径的长度

一般来说,用以下的这些性质就好了

切线的性质主要有五个：

(1)切线和圆只有一个公共点；

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；

(3)切线垂直于经过切点的半径；

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心；

若点M(x0,y0)在圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,，

则过点M的切线方程为

x0 x + y0 y + D(x+x0)/2 + E(y+y0)/2 + F =0

或表述为：

若点M(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2上，

则过点M的切线方程为

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

若已知点M(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2外，

则切点AB的直线方程也为

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2 若椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在椭圆上，

则过点P椭圆的切线方程为

(x·x0)/a^2 + (y·y0)/b^2=1★yanji

证明：

椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1,切点为(x0,y0),则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 (1)

对椭圆求导得y'=-b^2·x/a^2·y, 即切线斜率k=-b^2·x0/a^2·y0,

故切线方程是y-y0=-b^2·x0/a^2·y0(x-x0),将(1)代入并化简得切线方程为x0·x/a^2+y0·y/b^2=1。 若双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在双曲线上，

则过点P双曲线的切线方程为

(x·x0)/a^2 - (y·y0)/b^2=1★

此命题的证明方法与椭圆的类似，故此处略之。 若抛物线的方程为y^2=2px（p>0）, 点P(x0，y0)在抛物线上，则

过点P的抛物线的切线方程为

y·y0 = p·（x+x0）

此命题的证明方法亦与椭圆的类似，可设切线方程为y-b=k(x-a)

联立切线与抛物线。

y=k(x-a)+b

则

[k(x-a)+b]^2-2px=0

整理得

k^2x^2-(2k^2a+2p-2kb)x+k^2a^2+b^2-2kba=0

因为为相切，所以

△=0

则(2k^2a+2p-2kb)^2-4k^2(k^2a^2+b^2-2kba)=0

可求得k=p/b。

代回y-b=k(x-a)

y=p(x-a)/b+b

曲线的切线方程也可以用导数求解。

更为简便的计算方法：

设切线方程为x-a=m(y-b)，联立切线与抛物线

y^2-2pmy+2pmb-2pa=0

△=0，p^2m^2-2pbm+2pa=0，解得m=b/p

切线方程：x-a=b/p(y-b),化简得by=p(x+a)

微积分方法：

在M(a,b)点斜率为

求导：

2yy'=2p

代入点（a，b）

则y'=p/b

所以切线为：y=p(x-a)/b+b

1、连半径，证垂直。

2、作垂线，证半径。

若直线L过⊙O上某一点A，证明L是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥L就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。

相关信息：

圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。

圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

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