因式分解的基本步骤

因式分解是数学中常用的计算方法，那么怎么进行因式分解呢？今天小编就来跟大家讲讲，希望对大家有所帮助。

1提公因式法，如果一个多项式的各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式

2比如分解因式x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。

3应用公式法，由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式。

4比如分解因式a2+4ab+4b2，可得到结果为（a+2b）2。

1提取公因式

这个是最基本的就是有公因式就提出来,这个大家都会,就不多说了

2完全平方

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

看到式字内有两个数平方就要注意下了,找找有没有两数积的两倍,有的话就按上面的公式进行

3平方差公式

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

这个要熟记,因为在配完全平方时有可能会拆添项,如果前面是完全平方,后面又减一个数的话,就可以用平方差公式再进行分解

4十字相乘

x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

这个很实用,但用起来不容易

在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法

例子:x^2+5x+6

首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法

一次项系数为1所以可以写成11

常数项为6可以写成16,23,-1-6,-2-3(小数不提倡)

然后这样排列

1 - 2

1 - 3

(后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)

然后对角相乘,12=2,13=3再把乘积相加2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了)

我再写几个式子,楼主再自己琢磨下吧

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

2x^2+5x-12=(2x-3)(x+4)

其实最重要的是自己去运用,以上方法其实可以联合起来一起用,实践永远比别人教要好

顺便告诉你若一个式子的b^2-4ac小于0的话,这个式子是无论如何也不能分解了(在实数范围内,b为一次项系数,a为二次项系数,c为常数项)

这些方法一般在最高次为二次时适用!

因式分解是数学中的一个重要概念，指将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。因式分解在代数运算、函数图像、方程解法等方面都有广泛应用。想要学好因式分解，需要掌握以下几个步骤：

首先，要理解多项式的基本结构和术语，例如系数、幂次、项式等。其次，要学会常见因式公式的使用，如平方差公式、立方差公式、二项式定理等等。

然后，可以通过括号展开、配方法或因式分解公式等方法，将多项式因式分解为简单的乘积形式。

最后，需要加强练习和应用，多做相关题目，在思考过程中灵活使用推导、变形、因式分解等技巧，逐渐提高因式分解的熟练度和准确性。

总之，因式分解是一个需要耐心和积极探究的过程，只要认真学习并坚持练习，就一定能够掌握这个重要的数学技能。

因式分解的一般步骤是:一提二套三分解

一提:即提公因式,看到因式分解的题目,首先看有没有公因式,若有,则

先提公因式;若没有,则套用公式

二套:即套用公式,在没有公因式的前提下,则套用公式,

常用公式有:a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

十字相乘法:x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

举例:x^2+5x+6=(x+3)(x+2)

即分组分解法对于四项或四项以上的,一般都采用这种方法

下面主要对分组分解法和其他常见的方法归纳如下．

一、分组分解因式的几种常用方法．

1．按公因式分解

例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．

分析：第1、4项含公因式7x,第2、3项含公因式y,分组后又有公因式(x-3),

原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．

2．按系数分解

例2 分解因式x3+3x2+3x+9．

分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3,把它们按系数分组．

解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．

3．按次数分组

例3 分解因式 m2+2m·n-3m-3n+n2．

分析：第1、2、5项是二次项,第3、4项是一次项,按次数分组后能用公式和提取公因式．

原式=(m2+2m·n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)．

4．按乘法公式分组

分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式,分组后又与第二项用平方差公式．

5．展开后再分组

例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．

分析：将括号展开后再重新分组．

原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．

6．拆项后再分组

例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．

分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．

原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)．

7．添项后再分组

例7 分解因式x4+4．

分析：上式项数较少,较难分解,可添项后再分组．

原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)

二、用换元法进行因式分解

用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难,通过换元化为简单,从而分步完成．

例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．

分析：将令y=x2+3x,则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了．

令y=x2+3x,则

原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．

因此,原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．

三、用求根法进行因式分解

例9 分解因式x2+7x+2．

分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成,但仍可以分解,可用先求该多项式对应方程的根再分解．

四、用待定系数法分解因式．

例10 分解因式x2+6x-16．

分析：假设能分解,则应分解为两个一次项式的积形式,即(x+b1)(x+b2),将其展开得

x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x-16相比较得

b1+b2=6,b1·b2=-16,可得b1,b2即可分解．

设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)

则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2

∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．

1、在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式

2、运用公式x^2 +(p+q)x+pq=(x+q)×(x+p)进行因式分解要注意：

（1）必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数。

（2）将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：

① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；

②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。

3、将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式。

4、分组分解法

我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。

原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)

做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)×(a+b)

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。

因式分解公式法的步骤如下：

如果多项式的首项为负，应先提取负号；

如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

首先提取公因式，然后依次用公式，十字相乘，分组分解法，若都不行，再拆项添项试一试。必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式。

当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式。

多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式、十字相乘法分解因式。如果把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。

我的数学也不是很好，因式分解我有时也很迷茫，可我的老师告诉我们，做因式分解要有技巧，也要按照定义去做，送你四句话，也是我的老师给我们的：

首先提取公因式，

然后考虑用公式

分组分的要合适

结果必是连乘式

如果老师讲的少，你还可以试试自学！！

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止

比如x^2

6x-7这个式子

由于一次幂x前系数为6

所以，我们可以想到，7-1=6

那正好这个式子的常数项为-7

因此我们想到将-7看成7（-1）

于是我们作十字相成

x

7

x

-1

的到（x

7）·（x-1）

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法

基本方法:

1、提公因式法:如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2、公式法:如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);

完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2

立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);

完全立方公式:a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3

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