什么是三角形的外心

定义

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．编辑本段三角形外心的性质

设⊿abc的外接圆为☉g(r)，角a、b、c的对边分别为a、b、c，p=(a

b

c)/2．

1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心

2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合

3、ga=gb=gc=r

3、∠bgc=2∠a，或∠bgc=2(180°-∠a)

4、r=abc/4s⊿abc

5、点g是平面abc上一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：

(向量ga

向量gb)·向量ab=

(向量gb

向量gc)·向量bc=(向量gc

向量ga)·向量ca=向量0

6、点g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：

向量pg=((tanb

tanc)向量pa

(tanc

tana)向量pb

(tana

tanb)向量pc)/2(tana

tanb

tanc)

7、点g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：

向量pg=(cosa/2sinbsinc)向量pa

(cosb/2sincsina)向量pb

(cosc/2sinasinb)向量pc

8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1

c2

c3。

重心坐标：(

(c2

c3)/2c，(c1

c3)/2c，(c1

c2)/2c

)。

9、外心到三顶点的距离相等。

10、2r=a/sina=b/sinb=c/sinc。

三角形共有五心：

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：到三边距离相等。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：到三个顶点距离相等。

重心：三条中线的交点。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心：三条高所在直线的交点。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

性质：到三边的距离相等。

6三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。

参考资料：

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：到三边距离相等。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：到三个顶点距离相等。

重心：三条中线的交点。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心：三条高所在直线的交点。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

性质：到三边的距离相等。

界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。

性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

定义：三角形三边中垂线的交点，叫做这个三角形的外心。

性质：三角形外心就是这个三角形外接圆的圆形。

已知：△abc中，o是三边垂直平分线的交点，求证：o是△abc外接圆的圆心

证：

∵o是三边垂直平分线的交点(条件)

∴在△aob中,od⊥ab,ad=db

∴△aod≌△bod

∴oa=ob

同理可证：oa=oc

∴oa=ob=oc

△abc外接圆,a、b、c必是圆周上不在同一位置的点

∵oa=ob=oc（已证）

∴o是△abc外接圆的圆心。

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