幂函数导数的推导

一般用导数定义推，如果不用导数定义摊，则y=x^n则㏑y=n㏑x即(1/y)·y′=n·(1/x)∴y′=ny/x=n·(x^n)/x=nx^(n-1)。 扩展资料 幂函数是基本初等函数之一。一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

①形如f(x)^g(x)的函数，都应当认为它是幂指函数。

②研究幂指函数f(x)^g(x)的定义域有个前提f(x)＞0且f(x)≠1。

③撇开幂指函数，来谈y=f(x)的对数求导法，可以不论f(x)的正负，看似无理实质有理，本质根据是转化为“谈|y|=|f(x)|的对数求导法”，不影响所套用的公式和结果。

④对于幂指函数f(x)^g(x)，取对数是一种普遍适用方法，本质上是“指数函数”的“换底”：

y=f(x)^g(x)

两边取自然对数得

lny=[g(x)lnf(x)]

把1移到左边，得到等式：y-1=x^x

两边同取对数，得到：ln(y-1)=xlnx

两边同时求导：y'/(y-1)=lnx+x(1/x)

即：y'=(lnx+1)(y-1)

带入y，得到：y'=(lnx+1)x^x

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