多项式的恒等定理、余数定理、因式定理

1就是多少次方 比如2^2,就是2的2次方

2x表示自变量

3所有未知数的方幂都是1，如3x+2，3x+5y，3x+5y+7z等

4两多项式最高次数相同,且对应次数项的系数相同（利用多项式恒等定理解题的常用方法是待定系数法）

多项式余数定理是指一个多项式 f(x) 除以一线性多项式 x - a 的余数是 f(a)。

例如，(5x3 + 4x2 - 12x + 1) / (x - 3) 的余数是 5(3)3 + 4(3)2 - 12(3) + 1 = 136

如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。

反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解。

5不是很记得了，我现在大学，我记得我学这个的时候应该是初中

回复：这个怎么说呢，举个例子，f（x）=2x+5,x就是这个式子的变量，因为f（x）的值会随着x的变化而变化，方幂就是多少次方，就像前面的3x+5y这个例子，x,y都是一次的

1就是多少次方

比如2^2,就是2的2次方

2x表示自变量

3所有未知数的方幂都是1，如3x+2，3x+5y，3x+5y+7z等

4两多项式最高次数相同,且对应次数项的系数相同（利用多项式恒等定理解题的常用方法是待定系数法）

多项式余数定理是指一个多项式

f(x)

除以一线性多项式

x

-

a

的余数是

f(a)。

例如，(5x3

+

4x2

-

12x

+

1)

/

(x

-

3)

的余数是

5(3)3

+

4(3)2

-

12(3)

+

1

=

136

如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。

反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解。

5不是很记得了，我现在大学，我记得我学这个的时候应该是初中

回复：这个怎么说呢，举个例子，f（x）=2x+5,x就是这个式子的变量，因为f（x）的值会随着x的变化而变化，方幂就是多少次方，就像前面的3x+5y这个例子，x,y都是一次的

中国余数定理

中国余数定理,也称中国剩余定理，孙子剩余定理。

从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果，在19世纪中期开始受到西方数学界的重视。1852年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了 《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”；1876年，德国人马蒂生指出，中国的这一解法与西方19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式 组的解法完全一致。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。

在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：

韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让 敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7 报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。

最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目。这道“物不知数”的题目是这样的：

“今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？”

用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被3除余2，被5除余3，被7除余2。《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：

用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。稍懂代数的读者都知道： 《孙子算经》实际上是给出了这类一次同余式组 的一般解：

其中70、21、15和105这四个数是关键，所以后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：

“三人同行七十（70）稀，

五树梅花二一（21）枝。

七子团圆正半月（15），

除百零五（105）便得知。”

《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦

九韶在他的《数书九章》（见图1一7一1）中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。

秦九韶为什么要把他的这一套计算程序和基本原理称为“大衍求一术”呢？这是因为其计算程序的核心问题是要“求一”。所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个 数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。那么为什么要“求一”呢？我们可以从“物不知数”题的几个关键数字70、21、15中找到如下的规律：

图1-7-1 文澜阁四库全书本《数书九章》书影

其中70是5和7的倍数，但被3除余1；21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和5的倍数，但被7除余1，任何一个一次同余式组，只要根据这个规律 求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整 过程。（由于解法过于繁细，我们在这里就不展开叙述了，有兴趣的读者可进一步参阅有关书籍。）直到此时，由《孙子算经》“物不知数”题开创的一次同余式问 题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了“中国剩余定理”的高度。

原发布者:栤辗沨崋

定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。（1）7÷3=…1,5÷3=…2,这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3,所以余0（2）8÷3=…2,5÷3=…2,2+2=4>3,4÷3…1,这样（8+5）÷3的余数就等于1定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。例1有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。A29个B33个C36个D38个解析：小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个余2余4余4余3余0余1余3余42+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。（1）7÷3余1,5÷3余2,这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2,所以余2（2）5÷3余2,8÷3余2,2×2=4>3,4÷3余1,这样（5×8）÷3的余数就是1例2有一条长1773mm的钢管，把它锯成

余数定理（Polynomial

remainder

theorem）是指一个多项式f(x)

除以一个线性多项式(x-a)的余式是

f(a)。若f(a)=0，则多项式（x-a）能整除多项式f(x)。余式的次数一定比除式的次数低，否则说明还可以继续分。

若除式不为(x-a)的类型，依然可以利用上面的方法来求余数（式），即先求出使除式为0的x的值，再代入恒等号两边。

希望我能帮助你解疑释惑。

再看看别人怎么说的。

中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。

宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知。——常识科学篇。

多项式f(x)

多项式除（x-3）余5

f(x) = q(x) (x-3) + 5

f(3) =5

多项式除(x+1)余7

f(x) = p(x)(x+1) +7

f(-1) =7

f(x) = r(x)(x^2-2x-3) + (ax+b)

f(3) = 3a+b = 5 (1)

f(-1) = -a+b = 7 (2)

(1)-(2)

4a=-2

a=-1/2

from (1)

-3/2 +b =5

b = 13/2

ie

多项式f(x) 除(x^2-2x-3)余 -(1/2)x +13/2

没有太多的研究,但据我所知：

1、在数论中有些应用,可以用其证明一些存在性问题；

2、在中学数学中,可以用其解决一些因式分解问题；

3、有人发明了余数码,在信息传输时,若出现误码,可以简单恢复

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