三角形的四心及其这些心的重要推论

1、重心:三角形的三条中线的交点该点必在三角形内,

且该点将每条中线分为2:1

2、内心:三角形的三条角分线的交点该点必在三角形内,

且该点到三条边的距离相等,也是该三角形的内切圆的圆心

3、外心:三角形的三条中垂线的交点锐角三角形该点在三角形内,钝角三角形该点在三角形外

该点到三角形的三个顶点的距离相等,也是该三角形的外接圆的圆心

4、垂心:三角形的三条高的交点锐角三角形该点在三角形内,钝角三角形该点在三角形外

三角形的重心是中线的交点，垂心是高的交点，外心是外接圆的中心，内心是内切圆的中心，这些应该是公理没有证明的。

在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，总会衍生出一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力。这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。

三角形四心的向量计算：

平面向量是历年高考必考的热点与重点，一般为中档偏易的选择题或填空题，命题突出考查向量的基本运算与工具性，并渗透对数学运算和数学建模等核心素养的考查。

在解答题中常和三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系等问题相结合，主要以已知条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等。

内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心性质：到三边距离相等外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心性质：到三个顶点距离相等重心：三条中线的交点性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到

一、外心

三角形外接圆的圆心，简称外心与外心关系密切的有圆周角定理

圆周角定理:

同弧所对圆周角是圆心角的一半

证明略(分类思想,3种,半径相等)

圆周角推论1:

半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵

90‵圆周角所对弦是直径

(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径)

圆周角推论2:

同(等)弧所对圆周角相等

同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等

二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心掌握重心将每

条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题

中线长度公式:在三角形abc中，d为bc上的中点，设bd=dc=n,ad=m,ab=a

ac=b,则有

2（m2+n2)=a2+b2

三、垂心

三角形的三条高线交于一点三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角

三角形的垂心在三角形外。

四、内心

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形

例：⊙o是△abc的内切圆，△abc是⊙o的一个外切三角形，点o叫做△abc的内心

张角公式:,设点c在线段ab上,ab外一点p对线段ac、bc的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/pc=sinγ/pb+sinβ/pa

三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

五、旁心

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心

例：图中⊙o1、⊙o2、⊙o3都是△abc的旁切圆，点o1、o2、o3叫做△abc的旁心

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心

三角形有三个旁切圆，三个旁心

重心定理

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．

上述交点叫做三角形的重心

外心定理

三角形的三边的垂直平分线交于一点．

这点叫做三角形的外心

垂心定理

三角形的三条高交于一点．

这点叫做三角形的垂心

内心定理

三角形的三内角平分线交于一点．

这点叫做三角形的内心

旁心定理

三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．

这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

三角形的五种心是任何三角形都有，分别是：重心，外心，内心，旁心，垂心。

关于三角形的五种心的定义如下：

重心：三角形三边中线的交点；

外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；

内心：三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心；

旁心：三角形旁切圆的圆心,简称为三角形旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点；显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心；

垂心：三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。

三角形“四心”的向量性质及其应用

一、三角形的重心的向量表示及应用

命题一　已知 是不共线的三点, 是 内一点,若 ．则 是 的重心．

证明：如图1所示,因为 ,

所以 ．

以 , 为邻边作平行四边形 ,

则有 ,

所以 ．

又因为在平行四边形 中, 交 于点 ,

所以 , ．

所以 是 的边 的中线．

故 是 的重心．

点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．

例1　如图2所示, 的重心为 为坐标原点, , , ,试用 表示 ．

设 交 于点 ,则 是 的中点,

图2

而

点评：重心问题是三角形的一个重要知识点,充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．

变式：已知 分别为 的边 的中点．则 ．

证明：如图的所示,

图3

．．

变式引申：如图4,平行四边形 的中心为 , 为该平面上任意一点,

则 ．

证明： , ,

．

点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则,证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若 与 重合,则上式变为 0．

二、三角形的外心的向量表示及应用

命题二：已知 是 内一点,满足 ,则点 为△ABC的外心

例2 已知G、M分别为不等边△ABC的重心与外心,点A,B的坐标分别为A（-1,0）,B（1,0）,且 ∥ ,（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线 过点（0,1）,并与曲线交于P、Q两点,且满足 ,求直线 的方程解 （1）设C（x,y）,则G（ ）,

其中 ,

由于 ∥ ,

故 ,

外心M（0, ）,

,得

轨迹E的方程是

（2）略

三、三角形的垂心的向量表示及应用

命题三：已知 是 内一点,满足 ,则点G为垂心（2005全国文12）

证明:由

即

则

所以P为 的垂心

点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合

变式：若H为△ABC所在平面内一点,且

则点H是△ABC的垂心

B

C

H

A

图6

证明:

0

即 0

同理 ,

故H是△ABC的垂心

四、三角形的内心的向量表示及应用

命题四：O是内心 的充要条件是

变式1：如果记 的单位向量为 ,则O是 内心的充要条件是

变式2：如果记 的单位向量为 ,则O是 内心的充要条件也可以是

例4（2003江苏）已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,满足 , ,则P的轨迹一定通过△ABC的内心

P

E

C

O

A

B

D

图7

如图 由已知

,

,

设 , ,

D、E在射线AB和AC上

AP是平行四边行的对角线

又 ,

ADPE是菱形

点P在 即 的平分线上

故P点的轨迹一定通过△ABC的内心

五、三角形外心与重心的向量关系及应用

命题五：设△ABC的外心为O,则点G为△ABC重心的充要条件为：

图8

证明：如图8,设G为重心,连结AG并延长,交BC于D,则D为BC的中点

∴

反之,若 ,

则由上面的证明可知：

设D为BC的中点,则 ,

从而 ,

∴G在中线AD上且AG= AD,即G为重心

六、三角形外心与垂心的向量关系及应用

命题六：设△ABC的外心为O,则点H为△ABC的垂心的充要条件是

证明：如图2,若H为垂心,以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC,

图9

则

∵O为外心,

∴OB=OC,

∴平行四边形OBDC为菱形

∴ OD⊥BC,而AH⊥BC,

∴ AH∥OD,

∴存在实数 ,使得

∴ ①

同理,存在实数 , ,使得

②

③

比较①、②、③可得, ,

∴

反之,若 ,则 ,

∵ O为外心,∴OB=OC

∴

∴AH⊥CB,同理,BH⊥AC

∴ H为垂心

例6、已知H是△ABC的垂心,且AH=BC,试求∠A的度数

设△ABC的外接圆半径为R,点O是外心

∵ H是△ABC的垂心

∴

∴

∴

∵ ,

∴

∵AH=BC,

∴

∴

而∠A为△ABC的内角,

∴ 0＜2A＜360° 从而2A=90°或270°

∴ ∠A的度数为45°或135°

七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用

命题七：△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H,则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线）,且OG= GH

图10

证明：如图10,由命题五、六知,连结AG并延长,交BC于D,则D为BC的中点

, ,

∴

∴O、G、H三点共线,且OG= GH

例7、已知O（0,0）,B（1,0）,C（b,c）,是 OBC的三个顶点试写出 OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G、F、H三点共线（2002年全国）

重心G为 ,设H点的坐标为

∵ ,BC=(b-1,c),

,故

H点的坐标为

设外心F的坐标为 由|FO|=|FC|,得 ,

所以F点的坐标为（ , ）

从而可得出GH=（ , ）,FH=（ , ）

,GH∥FH,F、G、H三点共线

点评：向量不仅是平面解析几何入门内容,而且是解在关数形结合问题的重要工具它一般通过概念的移植、转化,将坐标与向量结合起来,从而使一些难题在思路上获得新的突破

例8、已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点,问当P位于何处时,PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值

如图11,设外接圆半径为R,点O是外心,则

图11

PA2+PB2+PC2=

（由命题六知：H为垂心,）

∴当P为OH的反向延长线与外接圆的交点时,有最大值6R2+2R·OH

当P为OH的延长线与外接圆的交点时,有最小值6R2－2R·OH

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