整除与除尽的区别

整除与除尽的区别是对于除法整数的要求不同，用法不同，适用范围不同。

一、对于除法整数的要求不同

1、整除：在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。

2、除尽：在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。

二、用法不同

1、整除：整数a除以整数b（b不等于0），除得的商正好是整数而没有余数，a能被b整除（或者说b能整除a）这里数a，数b指的是自然数。如：16÷8=2就是16能被8整除，或者说8能整除16。

2、除尽：甲数除以乙数，所得的商是整数或者是有限小数而余数为0时，也就是甲数能被乙数除尽（或者乙数能除尽甲数）。这里的甲数、乙数可以是自然数、小数、（乙数不能为0）。如：2÷5=04，12÷04=3。

三、适用范围不同

1、整除：整除是整数范围内的除法。

2、除尽：除尽不限于整数范围，只要求余数为零。

定义： , ,使 成立,

其中 或

q(x)称为g(x)除f(x)的商式,r(x)称为g(x)除f(x)的余式,简称商及余,q(x),r(x)唯一确定

证明：

存在性：

唯一性：

若 ,则x-a除f(x)的商式 和余式r(x)可按下列计算格式求得：

其中

注：综合除法一般用于

1求一次多项式x-a除f(x)的商式及余式

2把f(x)表成x-a的方幂和,即

定义： ,使得

f(x)=g(x)h(x)成立,则称g(x)整除f(x),记作g(x)|f(x)

g(x)不能整除f(x)记作

定义：当g(x)|f(x)时,g(x)称为f(x)的因式,f(x)称为g(x)的倍式

定理：

证明：

注：g(x)|f(x)中g(x)可以为零,此时f(x)=g(x)h(x)=0h(x)=0,即0|0

当g(x)|f(x)时,如果 ,g(x)除f(x)得商q(x)可以用

区别：

1 任一多项式整除它自身

2 任一多项式整除零多项式

3 零次多项式整除任一多项式

4

证明：

5

证明：

6

证明：

注：

反之不然

例：

7 f(x)与af(x)有相同的因式和倍式

8两多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变(整除不变性)

整除

divisibility

整数集的一个关系，初等数论最基本概念之一。对整数a，b（b≠0），若存在整数c，使a＝bc，则称b整除a，记作b｜a，b称为a的因数，a称为b的倍数。整除有下列基本性质：①若a｜b，a｜c，则a｜b±c。②若a｜b，则对任意c，a｜bc。③对任意a，±1｜a，±a｜a。④若a｜b，b｜a，则｜a｜＝｜b｜。对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a＝bq＋r，其中0≤r＜b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。若c｜a，c｜b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。当d≥0时，d是a，b公因数中最大者。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a)

什么是整除？

整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零．我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．

整除的一些性质为：

（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除．

（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除．

（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．

什么是倍数？什么是约数？

约数：如果一个整数能被两个整数整除，那么这个数就是着两个数的约数。约数是有限的，一般用最大公约数。

12的约数是1，2，3，4，6，12

①一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。②一个数除以另一数所得的商。如a÷b＝c，就是说a是b的c倍，c是倍数。

特征

拼音：tè

zhēng

词性：名词（n）

解释：可以作为人或事物特点的征象、标志等

运用：艺术～｜这个人的相貌有什么～？

特征

任一客体都具有众多特性，人们根据一群客体所共有的特性形成某一概念。这些共同特性在心理上的反映，称为该概念的特征。

本质特征和区别特征

不同专业领域对同一客体的众多特性侧重有所不同。在某个专业领域中，反映客体根本特性的特征，称为本质特征。因此本质特征是因概念所属专业领域而异的，反映了不同专业领域的不同侧重点。

多项式的除法与数的除法相同，式子除以式子，所得商与余。在多项式中，商与余可以为式子，也可以为值。

定义5： 如果有数域P上的多项式 使等式 成立,用 表示 整除 , 称为 的因式， 称为 的倍式（ 可以为零）

任一个多项式 都能整除零多项式0，因为 ;零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式，因为当 时，

1、如果 ,那么 ,其中c为非零常数——易证

2、如果 ,那么 ——整除的传递性

3、如果 ,那么 其中 是数域P上任意的多项式——因为每一项都带有可被整除的

两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变，因此，如果在 中 不能整除 ,那么在 中， 也不能整除

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