高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点 高中数学知识点

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平面的基本性质

教学目标

1、知识与能力：

(1)巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论

(2)能使用公理和推论进行解题

2、过程与方法：

(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;

(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感态度与价值观：

培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。

教学重点

平面的三条基本性质即三条推论

教学难点

准确运用三条公理和推论解题

教学过程

一、问题情境

问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面空间互相平行的三条直线呢

问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内

二、温故知新

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内

公理2

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线

公理3

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

推论1

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行

把以上各公理及推论进行对比：

三、数学运用

基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面

证明：——公理3推论1

——公理1

同理可证，,直线AD、BD、CD共面

解题反思11。逻辑要严谨

2书写要规范

3证明共面的步骤：

(1)确定平面——公理3及其3个推论

(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1

(3)作出结论。

变式1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面(口答)

变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面

变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗(口答)

(2)已知直线满足：;求证：直线

证明：——公理3推论3

——公理1

直线共面

提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内

思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。因而可以开放思路，考虑确定两个平面，再证明两个平面重合，问题迎刃而解。

证明：

——公理3推论3

——公理3推论3

——公理1

因此，平面同时经过两条相交直线所以平面重合。——公理3推论2

直线共面

上面方法称为同一法

拓展训练：如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:FC=DH:HA=2:3;求证：EF、GH、BD交于一点[渗透空间问题平面化思想]

思路分析：思路1：开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线在一个面内，并且相交，然后证明交点在两个平面上，据公理2知它在两面唯一的交线——第三条直线上，因此证得三线共点。

证法1：连接，

因E、G分别是BC、AB的中点，故因DF:FC=DH:HA=2:3,故——公理4

共面，由上知，相交，设交点为O,则平面,平面,

所以直线所以EF、GH、BD交于一点。

思路2：首先证明直线GH、BD交于一点P,直线EF、BD交于一点Q，然后证明两点P、Q重合，进而得出EF、GH、BD交于一点。

证法法2：提示：过点H作HO,使得,交点为O，连接OF，证明,

延长GH,EF,使它们与直线BD分别交于点P、Q，由三角形相似可以得出OP=OQ所以点P、Q重合。

链接生活：在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点P、Q、R的平面截得木头的截面形状

解题反思21。逻辑要严谨

2书写要规范

3方法要掌握

(1)证明共面的步骤：

1)确定平面——公理3及其3个推论——公理3及3个推论

2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1

3)作出结论。

(2)证明共线的步骤：

①证所有点在第一个面内(如平面)——公理1

②证所有点在第二个面内(如平面)——公理1

③结论1：所有点在两个平面的交线上

④结论2：所有点共线——公理2

(3)证明共点的步骤：

1)证交于一个点——公理3及3个推论

2)证此点在二个面内(如平面)——公理1

3)结论1：此点在两个平面的交线上——————公理2

4)结论2：三条线共点

四、回顾小结

本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题

五、课外作业(见所发的前置作业)

反馈练习

[121平面的基本性质(2)]

1、经过同一直线上的3个点的平面()

A、有且只有1个B、有且只有3个C、有无数个D、有0个

2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是()

A、1或2B、2或3C、1或3D、1或2或3

3、与空间四点距离相等的平面共有()

A、3个或7个B、4个或10个C、4个或无数个D、7个或无数个

4、四条平行直线最多可以确定()

A、三个平面B、四个平面C、五个平面D、六个平面

5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有个

6、给出以下四个命题：

①若空间四点不共面，则其中无三点共线;

②若直线l上有一点在平面外，则l在外;

③若直线、、中，与共面且与共面，则与共面;

④两两相交的三条直线共面

其中所有正确的命题的序号是

7点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为()

ABCD8下列推理，错误的是()

ABCD9下面是四个命题的叙述语(其中A、B表示点，表示直线，表示平面)

①②③④其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________

10、已知A、B、C不在同一条直线上，求证：直线AB、BC、CA共面

11、求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内

已知：直线、、且，，;

求证：直线、、共面

12、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

①AA1与CC1能否确定一个平面为什么

②点B、C1、D能否确定一个平面为什么

③画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线

13、两两相交且不共点的四条直线共面(注：有两种情形，见图，试分别证之)

1、定义不同

平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。

曲面可以看作是一条动线(直线或曲线)在空间连续运动所形成的轨迹，形成曲面的动线称为母线。母线在曲面中的任一位置称为曲面的素线，用来控制母线运动的面、线和点称为导面、导线和导点。

2、表示方法不同

平面通常画成平行四边形，由于平面的无限延展性，平行四边形只表示平面的一个部分，这同画直线时只画一段来表示直线的道理是一样的，另外，有时根据需要也可以用三角形、封闭的曲线图形等表示平面。

曲面的表示法和平面的表示法相似，最基本的要求是应作出决定该曲面各几何元素的投影，如母线、导线、导面等。此外，为了清楚地表达一曲面，一般需画出曲面的外形线，以确定曲面的范围。

3、微分几何方面不同

微分几何研究的对象。直观上,曲面是空间具有两个自由度的点的轨迹。曲面可用方程Z=f(x,y)或F(x,y,z)=0来表示,也可用参数方程x=j(u,v),y=ψ(u,v),z=c(u,v)表示。在最简单的曲面中,除平面外,有旋转面和二次曲面曲面还有直纹面、可展曲面、极小曲面、多面曲面、单侧曲面等。

参考资料：

百度百科-曲面

参考资料：

百度百科-平面

平面基本性质与推论

一、教学目标确立依据

（一）课程标准要求及解读

1

、课程标准要求

借助长方体模型，解空间点线面的基础上，抽象出空间点线面位置关系的定义，

并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

基本性质

1

：

如果一条直线上的两点在一个平面内，

那么这条直线上的所有的点

都在这个平面内．

基本性质

2

：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面

基本性质

3

：

如果不重合的两个平面有一个公共点，

那么它们有且只有一条过这

个点的公共直线。

2

、课程标准解读

平面的基本性质

1

给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定

义。

平面的基本性质

2

及平面的基本性质的三个推论，

说明了怎样的条件可以确定一

个平面，

从而我们知道什么条件下可以画出确定的平面，

什么条件下两个平面互

相重合，这些都是研究空间图形时首先需要明确的。

平面的基本性质

3

主要说明了两个相交平面的特征，

对我们确定或画出两个平面

的交线有重要的指导作用。

平面的基本性质的推论用以确定平面的依据。

(

二

)

教材分析

本节课在必修二中是第一张第二节内容，是整个立体几何的基础和工具。

是立体几何的起始课，

平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础。

平

面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，

在立体几何平面化的过程

中具有重要的桥梁作用。

通过对平面基本性质的学习，

有助于学生更好的学习立

体几何的其他知识本节的重点是平面的基本性质及三种语言的转换。

难点是平面

的基本性质的理解与应用。

课前要充分观察理解教室里的点、

线、

面，

来理解点、

线、面及位置关系。

知识结构图

基本性质

1

推论

1

平面的基本性质

基本性质

2

推论

2

基本性质

3

推论

3

（三）学情分析

通过第一章空间几何体的学习，

学生对于点线面之间的位置关系有初步认识，

本

节要求学生能够用集合语言表示点线面之间的位置关系，

引导学生对空间中点线

面的位置关系可各种可能性进行分类和研究。对于证明学生可能感觉难度较大。

二、教学目标

1

、在直观认识和理解空间点线面的基础上，能抽象出空间点线面位置关系的定

义。

2

、图形语言符号语言表示点线面之间的位置关系，

3

通过第一节课学习，

在掌握平面的三个基本性质的基础上，

进一步掌握平面基

本性质的三个推论；

三、评价设计

目标

1

评价：

能说出线不在面内的情况，

并用图形表示。

能说出两个平面的位置

关系。

目标

2

评价：

学生对基本性质及推论能说出条件及结论是什么，

并会用图形语言

及符号语言表示。

目标

3

评价：经过小组讨论会证明平面基本性质的三个推论；

四、教学方法

学生从直观认识平面到理性的理解平面，

有一个抽象的过程。

通过这个过程可培

养学生的抽象能力。

要让学生认识平面的三条基本性质的直观背景。

学完这三条

基本性质，

学生营养成用性质理解平面的习惯，

学会用直线和皮面的基本性质进

行推理。

五、教学过程

温故知新，导入新课。

1

平面有哪些性质呢？

2

、一条直线和平面有哪几种关系呢？两个平面呢？

教学重点、难点的学习与完成过程

师：

立体几何中有一些公理，

构成一个公理体系．

人们经过长期的观察和实

践，

把平面的三条基本性质归纳成三条公理．

请同学们思考下列问题

（用幻灯显

示）．

问题

1

：

直线

l

上有一个点

P

在平面

α

内，

直线

l

是否全部落在平面

α

内？

问题

2

：

直线

l

上有两个点

P

、

Q

在平面

α

内，

直线

l

是否全部落在平面

α

内？

（用竹针穿过纸板演示问题

1

，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题

2

，学生思

考回答后教师归纳．）

设计意图：形象直观，学生易于接受。

这就是基本性质

1

：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上

的所有的点都在这个平面内．．

这里的条件是什么？结论是什么？

生：条件是直线（

a

）上有两点（

A

、

B

）在平面（

α

）内，结论是：直线（

a

）

在平面（

α

）内．

师：把条件表示为

A∈a，B∈b

且

A∈

α

，B∈

α

，把结论表示．

设计意图：学生学会符号语言。

这条公理是判定直线是否在平面内的依据，

也可用于验证一个面是否是平面，

如

泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．

在这里，

我们用平行四边形来表示平面，

那么平面是不是只有平行四边形这

么个范围呢？

生：不是，因为平面是无限延展的．

师：对，根据基本性质

1

，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸

的，

如果平面是有限的，

那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以

平面具有无限延展的特征．

现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象：两个纸板交叉

师：两个平面会不会只有一个公共点？

生甲：只有一个公共点．

生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．

师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公

共点．

那么这无数个公共点在什么位置呢？

（教师随手一压，

一块纸板随即插入

另一块纸板上事先做好的缝隙里）

．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说

明，

如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的

公共直线。

设计意图：形象直观，学生易于接受。

此时，

就说两平面相交，

交线就是公共点的集合这就是基本性质

3

其条件和

结论分别是什么？

生：条件是两平面（

α

、

β

）有一公共点（

A

），结论

是：它们有且只有一条过这个点的直线．

师：条件表示为

A∈

α

，A∈

β

，结论表示为：

α

∩

β

＝

a

，A∈a，图形表示

基本性质

3

判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．

下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：

问题

1

：经过空间一个已知点

A

可能有几个平面？

问题

2

：经过空间两个已知点

A

、

B

可能有几个平面？

问题

3

：经过空间三个已知点

A

、

B

、

C

可能有几个平面？

平面向量是高一的知识点，想要学习好需要学生把握好概念和运算，下面是我给大家带来的有关于高中数学平面向量知识点的具体介绍，希望能够帮助到大家。

高一数学平面向量知识点

向量：既有大小，又有方向的量

数量：只有大小，没有方向的量

有向线段的三要素：起点、方向、长度

零向量：长度为的向量

单位向量：长度等于个单位的向量

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作ab，θ是a与b的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

高一必修二数学平面的基本性质知识点

平面的基本性质

教学目标

1、知识与能力：

(1)巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论

(2)能使用公理和推论进行解题

2、过程与方法：

(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;

(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感态度与价值观：

培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。

教学重点

平面的三条基本性质即三条推论

教学难点

准确运用三条公理和推论解题

教学过程

一、问题情境

问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面空间互相平行的三条直线呢

问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内

二、温故知新

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内

公理2

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线

公理3

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

推论1

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

公理 4(平行公理) 平行于同一条直线的两条直线互相平行

把以上各公理及推论进行对比：

三、数学运用

基础训练：(1)已知： ;求证：直线AD、BD、CD共面

证明： ——公理3推论1

——公理1

同理可证， , 直线AD、BD、CD共面

解题反思11。逻辑要严谨

2书写要规范

3证明共面的步骤：

(1)确定平面——公理3及其3个推论

(2)证线“归” 面(线在面内如： )——公理1

(3)作出结论。

变式1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面(口答)

变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面

变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗(口答)

(2)已知直线 满足： ;求证：直线

证明： ——公理3推论3

——公理1

直线 共面

提高训练：已知 ，求证： 四条直线在同一平面内

思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。因而可以开放思路，考虑确定两个平面，再证明两个平面重合，问题迎刃而解。

证明：

——公理3推论3

——公理3推论3

——公理1

因此，平面 同时经过两条相交直线 所以平面 重合。——公理3推论2

直线 共面

上面方法称为同一法

拓展训练：如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:FC=DH:HA=2:3;求证：EF、GH、BD交于一点[渗透空间问题平面化思想]

思路分析：思路1：开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线在一个面内，并且相交，然后证明交点在两个平面上，据公理2知它在两面唯一的交线——第三条直线上，因此证得三线共点。

证法1：连接 ，

因 E、G分别是BC、AB的中点，故 因DF:FC=DH:HA=2:3,故 ——公理4

共面，由上知， 相交，设交点为O,则 平面 , 平面 ,

所以 直线 所以EF、GH、BD交于一点。

思路2：首先证明直线 GH、BD交于一点P,直线EF 、BD交于一点Q，然后证明两点P、Q重合，进而得出EF、GH、BD交于一点。

证法法2：提示：过点H作HO,使得 ,交点为O，连接OF，证明 ,

延长GH,EF,使它们与直线BD分别交于点P、Q，由三角形相似可以得出OP=OQ所以点P、Q重合。

链接生活：在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点P、Q、R的平面截得木头的截面形状

解题反思21。逻辑要严谨

2书写要规范

3方法要掌握

(1)证明共面的步骤：

1)确定平面——公理3及其3个推论——公理3及3个推论

2)证线“归” 面(线在面内如： )——公理1

3)作出结论。

(2)证明共线的步骤：

①证所有点在第一个面内(如平面 )——公理1

②证所有点在第二个面内(如平面 ) ——公理1

③结论1：所有点在两个平面的交线上

④结论2：所有点共线——公理2

(3)证明共点的步骤：

1)证交于一个点——公理3及3个推论

2)证此点在二个面内(如平面 ) ——公理1

3)结论1：此点在两个平面的交线上——————公理2

4)结论2：三条线共点

四、回顾小结

本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题

五、课外作业(见所发的前置作业)

反馈练习

[ 121 平面的基本性质(2)]

1、经过同一直线上的3个点的平面( )

A、有且只有1个 B、有且只有3个 C、有无数个 D、有0个

2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )

A、1或2 B、2或3 C、1或3 D、1或2或3

3、与空间四点距离相等的平面共有( )

A、3个或7个 B、4个或10个 C、4个或无数个 D、7个或无数个

4、四条平行直线最多可以确定( )

A、三个平面 B、四个平面 C、五个平面 D、六个平面

5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有 个

6、给出以下四个命题：

①若空间四点不共面，则其中无三点共线;

②若直线l上有一点在平面 外，则l在 外;

③若直线 、 、 中， 与 共面且 与 共面，则 与 共面;

④两两相交的三条直线共面

其中所有正确的命题的序号是

7点P在直线l上，而直线l在平面 内，用符号表示为( )

A B C D 8下列推理，错误的是( )

A B C D 9下面是四个命题的叙述语(其中A、B表示点， 表示直线， 表示平面)

① ② ③ ④ 其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________

10、已知A、B、C不在同一条直线上，求证：直线AB、BC、CA共面

11、求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内

已知：直线 、 、 且 ， ， ;

求证：直线 、 、 共面

12、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

①AA1与CC1能否确定一个平面为什么

②点B、C1、D能否确定一个平面为什么

③画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线

以上就是关于高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点 高中数学知识点全部的内容，包括:高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点 高中数学知识点、平面和曲面的区别是、所有平面图形共有的基本属性，性质..等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！