方差公式是什么

一．方差的概念与计算公式

例1

两人的5次测验成绩如下：

x：

50，100，100，60，50

e(x

)=72；

y：

73，

70，

75，72，70

e(y

)=72。

平均成绩相同，但x

不稳定，对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为d(x

)：

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里

是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即

，

其中

分别为离散型和连续型计算公式。

称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

二．方差的性质

1．设c为常数，则d(c)

=

0（常数无波动）；

2．

d(cx

)=c2

d(x

)

（常数平方提取）；

证：

特别地

d(-x

)

=

d(x

),

d(-2x

)

=

4d(x

)（方差无负值）

3．若x

、y

相互独立，则

证：记

则

前面两项恰为

d(x

)和d(y

)，第三项展开后为

当x、y

相互独立时，

，

故第三项为零。

特别地

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

三．常用分布的方差

1．两点分布

2．二项分布

x

~

b

(

n,

p

)

引入随机变量

xi

（第i次试验中a

出现的次数，服从两点分布）

，

3．泊松分布（推导略）

4．均匀分布

另一计算过程为

5．指数分布（推导略）

6．正态分布（推导略）

~

正态分布的后一参数反映它与均值

的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。

例2

求上节例2的方差。

解

根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

统计学中方差计算公式：

设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^05（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差。

由方差的定义可以得到以下常用计算公式：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

S^2=[(x1-x拔)2+（x2-x拔)^2+(x3-x拔)^2+…+(xn-x拔)^2]/n

性质：

1、设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；

2、D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取，C为常数，X为随机变量）；

证：特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）

3、若X 、Y 相互独立，则证：记则

前面两项恰为 D(X)和D(Y)，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，故第三项为零。

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