求最大公因数和最小公倍数的方法

最大公因数

一、列举法：就是把几个数的所有因数都写出来，通过对比、观察、找出公因数——最大公因数。

求（12，18）。

12的因数有：1、2、3、4、6、12

18的因数有：1、2、3、6、9、18

12和18的公因数有：1、2、3、6

（12，18）=6

二、分解质因数法：就是将几个数各自分解成质因数的形式，把公因数相乘得出最大公因数。

求（12，18）。

12=2×2×3

18=2×3×3

（12，18）=2×3=6

最小公倍数的求法

求几个数的最小公倍数，常用的方法有：

（1）求几个数的最小公倍数，先看这几个数有没有公约数（不一定是全部已知数的公约数，其中任何两个数的公约数也可以），如果有的话，就用它们的公约数去连续除，一直除到每两个数都是互质数为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来，积就是这几个数的最小公倍数。

例：①求12和18的最小公倍数。

2和3互质，除到此为止。

12和18的最小公倍数是

2×3×2×3＝36。

②求12、18、24的最小公倍数

1、2、3每两个数都是互质数，除到此为止。

12、18、24的最小公倍数是

2×3×2×1×3×2＝

72。（2）先求最大公约数法

求两个数的最小公倍数，可以利用这两个数与它们的最大公约数和最小公倍数的关系求得。

关系是：最大公约数×最小公倍数=两数相乘的积

例：求12和18的最小公倍数。

解：因为12和18的最大公约数是6，两数之积为12×18＝216，所以12和18的最小公倍数为：216÷6=36。

（3）直接观察法

①两个数成倍数关系的：

如果较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。例：96是16的倍数，96是96和16的最小公倍数。

②两个数是互质关系的：

如果两个数是互质数，那么这两个数的最小公倍数就是这两个数的积。例：7和13的最小公倍数是

7×13=91。

最小公倍数和最大公因数的求法如下：

最大公因数常见求法分为质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法;最小公倍数的求法为分解质因数法和公式法。

最大公因数求法：

质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。

更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

最小公倍数求法：

分解质因数法：先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积(如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数)。

公式法：由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即(a，b)×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。

最小公因数一般都是1。最大公因数需要另外算。最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。

"倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数。

几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3。

几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4的倍数有4、8、12、16，……，6的倍数有6、12、18、24，……，4和6的公倍数有12、24，……，其中最小的是12，一般记为[4，6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12，15，18]=180。若干个互质数的最小公倍数为它们的乘积的绝对值。

在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：

（1）如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。

（2）如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。

（3）两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。

（4）两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的因数,那么这些因数就叫做它们的公因数

任何两个自然数都有最小公因数1（除零以外）

而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数

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