对数函数图象及其性质

对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：

如果a^x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写，读作：[英][lɔɡ][美][lɔɡ， lɑɡ]。图像如下：

对数函数的图像都过（1,0）点，指数函数的图像都过（0,1）点；

对数（指数）函数的底数大于1时为增函数，大于0而小于1时为减函数；

对数函数的图像在y轴右侧，指数函数的图像在x轴上方；

对数函数的图像在区间（1，正无穷）上，当底数大于1时底数越大图像越接近x轴，当底数小于1时底数越小越图像越接近x轴；

对函数y=logax，以a为底的对函数，其性质为①定义域为（0，+∞）,②其值域为R,③都过点（1，0），就是说x=1时，y=0，④当a＞1时，y=logax在（0，+∞）上单调递增;当0＜a＜1时，函数y=logax在（0，+∞）上单调递减

对数的定义域：x∈(0，+∞)，值域：y∈R。

对数函数是函数的一类，所以讨论对数函数的性质就是讨论函数的性质。

从函数性质开始：

函数的第一个性质就是单调性，但函数的单调性是由底数a决定的，当a>1时，对数函数就是单调递增函数，当0。

函数的其他性质就是奇偶性，周期性，对称性，但对数函数都不具备，所以在此就不做讨论了。

对数函数特有的性质就是所有的对数函数必过一个点（0，1)，即当x=0时，即y=1。

产生历史：

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent，有代表之意）。

欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。

图像详见百度百科>

对数的定义和运算性质　

　一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于n，那么数b叫做以a为底n的对数，记作log(a)（n）=b,其中a叫做对数的

底数

，n叫做

真数

。

底数则要大于0且不为1

真数大于0

对数的运算性质：　

　当a>0且a≠1时,m>0,n>0，那么：

　（1）log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);

（2）log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n);

（3）log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

（n∈r）

（4）

换底公式：

log(a)m=log(b)m/log(b)a

(b>0且b≠1）

(5)

a^(log(b)n)=n^(log(b)a)

证明：

设a=n^x

则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)

(5)

对数恒等式：

a^log（a)n=n;

log（a）a^b=b

对数与指数之间的关系　

　当a>0且a≠1时,a^x=n

x=㏒(a)n

对数（logarithm）是对求幂的逆运算，一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。

对数的符号log出自logarithm，如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数

对数符号

以a为底N的对数记作。对数符号log出自拉丁文logarithm，最早由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）所使用。20世纪初，形成了对数的现代表示。为了使用方便，人们逐渐把以10为底的常用对数及以无理数e为底的自然对数分别记作lgN和lnN。

3、对数的定义

如果，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。

特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。

称以无理数e（e=271828）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。

零没有对数。

在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。

事实上，当，，则有e(2k+1)πi+1=0，所以ln(-1)的具有周期性的多个值，ln(-1)=(2k+1)πi。这样，任意一个负数的自然对数都具有周期性的多个值。例如：ln(-5)=(2k+1)πi+ln 5。

4、对数函数

定义

函数叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量。对数函数的定义域是。

函数基本性质

1、过定点，即x=1时，y=0。

2、当时，在上是减函数；当时，在上是增函数。

复变函数

，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”。

的推导：

因为

在的展开式中把x换成±ix

所以

将公式里的x换成-x，得到：

，然后采用两式相加减的方法得到：，这两个也叫做欧拉公式。将中的x取作π就得到：

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

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