相似三角形的性质的 几何语言

相似三角形对应角相等。

∵ΔABC∽ΔDEF，∴∠A=∠D；

相似三角形对应边的比等于相似比，

∵ΔABC∽ΔDEF，∴AB/DE=k(k为相似比)，

相似三角形对应边上中线的比等于相似比，

∵ΔABC∽ΔDEF，AP、DQ分别为中线，∴AP/DQ=k(k为相似比)，

相似三角形对应边上高的比等于相似比，

∵ΔABC∽ΔDEF，AP、DQ分别为高，∴AP/DQ=k(k为相似比)，

相似三角形对应铁平分线的比等于相似比，

∵ΔABC∽ΔDEF，AP、DQ分别为角平分线，∴AP/DQ=k(k为相似比)，

相似三角形周长的比等于相似比，

∵ΔABC∽ΔDEF，∴CΔABC/CΔDEF=k(k为相似比)，

相似三角形有比比等于相似比的平方。

∵ΔABC∽ΔDEF，∴SΔABC/AΔDEF=k^2(k为相似比)。

相似三角形的认识

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。（similar triangles）。

互为相似形的三角形叫做相似三角形

相似三角形的判定方法

根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

1平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）

2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；

3如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

4如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

绝对相似三角形

1两个全等的三角形一定相似。

2两个等腰直角三角形一定相似。

3两个等边三角形一定相似。

直角三角形相似判定定理

1斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

三角形相似的判定定理的推论

推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形的性质

1相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2相似三角形周长的比等于相似比。

3相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形的特例

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（congruent triangles）

全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：形状完全相同，相似比是k=1。

全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。

因此，相似三角形包括全等三角形。

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1、相似三角形的有关概念

（1）相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形

（2）相似比：相似三角形对应边的比

二）、相似三角形

1、相似三角形的有关概念

（1）相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形

（2）相似比：相似三角形对应边的比

2、平行于三角形一边的定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

3、三角形相似的判定

（1）两角对应相等，两三角形相似

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

（3）三边对应成比例，两三角形相似

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，

那么这两个直角三角形相似

4、相似三角形的性质

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

（3）相似三角形周长的比等于相似比

证明三角形相似的条件：

两角分别对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。

一、相似三角形的判定定理：

1平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

4如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似

二、相似三角形介绍

三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

三、相似三角形的性质

1性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；

性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方

2性质：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

四、特殊情况

1凡是全等的三角形都相似。全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1。反之，当相似比为1时，相似三角形为全等三角形。

2 有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似。由此，所有的等边三角形都相似。

3设三角形ABC与三角形A'B'C'的相似比为k，三角形A'B'C'与三角形ABC的相似比为k'，则k'=1/k。

相似图形的性质和判定如下：

一、一般相似三角形的判定定理：

1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等两三角形相似）。

2、如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）。

3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似）。

二、直角三角形相似的判定定理：

1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

三、相似三角形还有以下一些性质定理：

1、相似三角形的对应角相等。

2、相似三角形的对应边成比例。

3、相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

4、相似三角形的周长比等于相似比。

5、相似三角形的面积比等于相似比的平方。

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