什么是虚数

虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。

虚数就是形如a+bi的数，其中a,b是实数，且b≠0，i² =-1。

虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。

什么是虚数

负数开平方，在实数范围内无解。

数学家们就把这种运算的结果叫做虚数，因为这样的运算在实数范围内无法解释，所以叫虚数。

实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。

于是，实数成为特殊的复数（缺序数部分），虚数也成为特殊的复数（缺实数部分）。

虚数单位为i, i即根号负1。

3i为虚数，即根号(-3), 即3×根号（－1）

2＋3i为复数，（实数部分为2，虚数部分为3i）

虚数的实际意义

大多数人最为熟悉的数有两种，即正数（＋5，

＋17．5）和负数（－5，－17．5）。负数是在中世

纪出现的，它用来处理3－5这类问题。从古代人看来，要

从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是，中世纪

的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹

果，可是我只有三个苹果的钱，这样我还欠你两个苹果的钱。”

这就等于说：（＋3）－（＋5）＝（－2）。

正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘

正数，其乘积为正。正数乘负数，其乘积为负。最重要的是，

负数乘负数，其乘积为正。

因此，（＋1）×（＋1）＝（＋1）；

（＋1）×（－1）＝（－1）；

（－1）×（－1）＝（＋1）。

现在假定我们自问：什么数自乘将会得出＋1？或者用

数学语言来说，＋1的平方根是多少？

这一问题有两个答案。一个答案是＋1，因为（＋1）

×（＋1）＝（＋1）；另一个答案则是－1，因为（－1）

×（－1）＝（＋1）。数学家是用√￣（＋1）＝±1来

表示这一答案的。（碧声注：（＋1）在根号下）

现在让我们进一步提出这样一个问题：－1的平方根是

多少？

对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是＋1，因

为＋1的自乘是＋1；答案也不是－1，因为－1的自乘同

样是＋1。当然，（＋1）×（－1）＝（－1），但这是

两个不同的数的相乘，而不是一个数的自乘。

这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号，

譬如说＃1，而且给它以如下的定义：＃1是自乘时会得出

－1的数，即（＃1）×（＃1）＝（－1）。当这种想法

刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”，这只是因为

这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一

点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有

一些严格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。

但是，正因为数学家感到这种数多少有点虚幻，所以给

这种数一个专门的符号“i”(imaginary)。我们可以把正

虚数写为（＋i），把负虚数写为（－i），而把＋1看作

是一个正实数，把（－1）看作是一个负实数。因此我们可

以说√￣（－1）＝±i。

实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有＋5，

－17．32，＋3／10等实数一样，我们也可以有

＋5i，－17．32i，＋3i／10等虚数。

我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。

假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数

系统，那么，位于0点某一侧的是正实数，位于0点另一侧

的就是负实数。

这样，当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线

时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直

线上0点的一侧的数是正虚数，0点另一侧的数是负虚数。

这样一来，同时使用这两种数系，就可以在这个平面上把所

有的数都表示出来。例如（＋2）＋（＋3i）或

（＋3）＋（－2i）。这些数就是“复数”。

数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数

字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他

们就无法做到这一点了。

负数开平方,在实数范围内无解

数学家们就把这种运算的结果叫做虚数,因为这样的运算在实数范围内无法解释,所以叫虚数

实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数,起名为复数

于是,实数成为特殊的复数（缺序数部分）,虚数也成为特殊的复数（缺实数部分）

虚数单位为i,i即根号负1

3i为虚数,即根号(-3),即3×根号（－1）

2＋3i为复数,（实数部分为2,虚数部分为3i）

虚数定义

在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i²=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。

对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。

虚数的由来

随着数学的发展，数学家发现一些 三次方程的实数根还非得用负数的平方根表示不可。而且，如果承认了负数的平方根，那么代数方程的有无根问题就可以得到解决，并且会得出n次方程有n个根这 样一个令人满意的结果。此外，对负数的 平方根按数的运算法则进行运算，结果也是正确的。

意大利数学家卡尔丹作出一个折中表示，他称负数的平方根为 “虚构的数”，意思是，可以承认它为数，但不像实数那样可以表示实际存在的 量，而是虚构的。到了 1632年，法国数学家笛卡儿，正式给了负数的平方根一个 大家乐于接受的名字——虚数。

虚数的虚字表示它不代表实际的 数，而只存在于想象之中。尽管虚数是 “虚”的，但数学家却没有放松对它的研 究，他们发现了关于虚数的许许多多的性 质和应用。

大数学家欧拉提出了 “虚数单位”的概念，他把U 作为虚数单位，用符号i表示，相当于实数的单位1。虚数有了单位，就能像实数 一样，写成虚数单位倍数的形式了。

从此，数学家把实数与虚数同等对待，并合称为复数，于是，数的家族得到 了统一。任何一个复数可以写成a+bi的 形式，当b=0时a+bi=a,它就是实数，当 b#0时，a+bi就是虚数了。

“在数学中，虚数就是形如a+bi的数，其中a,b是实数，且b≠0,i = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+bi的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴。

这样虚数a+bi可与平面内的点(a,b)对应。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。”

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