请解释函数的定义。

函数定义：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f : A-->B 当集合A，B都是非空的数的集合，且B的每一个元素都有原象时，这样的映射f:A-->B就叫定义域A到值域B上的函数．

在初中课本中的定义是：一般的，有两个变量XY，其中一个变量Y随着另一个变量X的变化而变化，并且，给出一个X值都有唯一的一个Y值与它对应。X叫自变量，Y叫因变量。

函数在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。

因变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。

函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。

但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数是一种特殊的映射。

函数作为初中数学的重难点，怎么才能学好呢？本文整理了相关内容，一起来看看吧！

零基础怎么学好初中数学函数

首先就是熟悉坐标系

在除以学习过坐标轴以后，我们在初二阶段开始学习坐标系，坐标系是所有函数的容器，在所有的函数里面需要坐标系来体现的。

学会表示点

另外需要学会表示点，学会利用横纵坐标来表示点的位置和特点。学会表示点的位置，点的移动和点的特性。

理解函数概念

理解自变量和应变量的概念进而理解函数的概念，函数的概念理解了，理解了函数的概念才可以进行函数题的计算。

初中函数学习方法

1、注重“类比”思想

不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法。初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。因此采用类比的方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。是一种既经济又实效的教学方法。

2、注重“数形结合”思想

数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。

函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的“数形结合”。函数图象就是将变化抽象的函数“拍照”下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。

3、注重自变量的取值范围

自变量的取值范围，是解函数问题的难点和考点。正确求出自变量取值范围，正确理解问题，并化归为解不等式或不等式组。这需要学生掌握函数的思想，不等式的实际应用，全面考虑取值的实际意义。

4、注重实际应用问题

学习函数的主要目的之一就是在复杂的实际生活中建立有效的函数模型，利用函数的知识解决问题。这也是新课标所倡导的学习，因此新教材大力倡导函数与实际的应用。

函数是我们初中数学学习的重点，接下来给大家分享一些初中函数入门的知识点，带领大家走进函数的世界。

函数入门的相关概念

自变量(函数)：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

元素输入值的集合X被称为f的定义域;可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。

一次函数

(一)在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k≠0)，(k为一次项系数，b为常数)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。特别的，当b=0时，y=kx(k≠0)，称y是x的正比例函数。

(二)一次函数的性质

（1）y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。

即：y=kx+b(k≠0)(k不等于0，且k，b为常数)。

（2）当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为(0，b)。

当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为(-b/k，0)。

（3）k为一次函数y=kx+b的斜率，k=tanθ(角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，θ≠90°)。

（4）当b=0时(即y=kx)，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

（5）函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行;

当k不同，且b相等，图象相交于Y轴;

当k互为负倒数时，两直线垂直。

（6）平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。

二次函数

（一）二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。它的定义是一个二次多项式（或单项式）。

（二）二次函数的性质

（1）二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

（2）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。

（3）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。

（4）常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c）。

一、函数的有关概念

1、函数的概念：

设在某变化过程中，有两个变量x、y,如果给定一个x的值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

2、平面直角坐标系：

①在同一平面内，两条互相垂直的数轴（原点重合，取向右和向上的方向为正方向）组成了一个平面直角坐标系，水平的数轴叫做横轴或x轴，铅直的数轴 叫做纵轴或y轴。

②在平面直角坐标系中，两条数轴把平面分成了四个部分，为第一、二、三、四象限。

③在平面直角坐标系中，一对有序实数对与坐标平面内的点建立了一种一一对应的关系。

④点A（a，b）在第一象限时：a>0,b>0；在第二象限时：a<0,b>0；

在第三象限时：a<0,b<0；在第四象限时：a>0b<0

⑤坐标轴上的点不属于任何象限，在x轴上的点的纵坐标都为0；在y轴上的点的横坐标都为0，原点的坐标为（0，0）。

3、坐标平面内点的对称

点A（a,b）关于x轴的对称点为：A/（a,-b）；

关于y轴的对称点为：A/（-a,b）；

关于原点对称的点为：A/（-a,-b）；

关于一、三象限的角平分线（直线y=x）对称的点为A/（ b,a）；

关于二、四象限的角平分线（直线y=-x）对称的点为A/（ -b,-a）。

4 、平面内任意两点之间的距离：A（x1,y1），B（x2,y2）间的距离为：

5、平面内一条线段的中点坐标：线段AB，{A（x1,y1），B（x2,y2）}的中点坐标为：

6、函数的表示有三种方法：图象法，列表法，公式法（即解析式法）。

用解析式表示函数关系的优点是:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质;

用列表法表示函数关系的优点是:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值;

用图像法表示函数关系的优点是:能直观形象地表示出函数的变化情况

2008-10-8 22:24 回复 寒潭守鹤 90位粉丝 3楼二、正比例函数和一次函数

1、正比例函数：y=kx (k≠0)叫做正比例函数，它的图象是过原点的一条直线。｜k｜=tanα, α为直线与x轴的夹角(锐角); ｜k｜越大, α越大

当k>0时，图象分布在一、三象限，y随x的增大而增大；y随x的减小而减小。且当x>0时,y>0;x=0时,y=0;x<o时,y<0

当k<0时，图象分布在二、四象限，y随x的增大而减小；y随x的减小而增大。且当x>0时,y<0;x=0时,y=0;x<o时,y>0

2、一次函数：y=kx+b (k≠0)叫做一次函数，它的图象是平行于y=kx (k≠0)的一条直线。与x轴的交点为(-b／k,0),与y轴的交点为(0,b); ｜k｜=tanα, α为直线与x轴的夹角(锐角); ｜k｜越大, α越大

当k>0,b>0时，图象分布在一二三象限，y随x的增大而增大；y随x的减小而减小。

当k>0,b<0时，图象分布在一三四象限，y随x的增大而增大；y随x的减小而减小。

且当x>-b／k时,y>0;x=-b／k时,y=0;x<-b／k时,y<0

当k<0,b>0时，图象分布在一二四象限，y随x的增大而减小；y随x的减小而增大。

当k<0,b<0时，图象分布在二三四象限，y随x的增大而减小；y随x的减小而增大。

且当x>-b／k时,y<0;x=-b／k时,y=0;x<-b／k时,y>0

3、在y1=k1x+b1;y2=k2x+b2 (k1k2≠0) 中：

当y1‖y2时，k1=k2；当y1⊥y2时，k1k2= -1；当y1与y2不平行时，k1≠k2；

当这两直线不平行时，它们的交点坐标是两解析式联合方程组的解。

｜k｜=tanα,α为直线与x轴的夹角；

｜k｜越大，夹角就越大；｜k｜越小，夹角就越小。

2008-10-8 22:25 回复 寒潭守鹤 90位粉丝 4楼4、一次函数图象的平移：上下平移外加减；左右平移内加减。

y=k(x+0)+ b

内 外

例如：把y=-2x+5的图象向左平移3个单位的直线为：y=-2(x+3)+ 5,即y=-2x-1;

把y=-2x+5的图象向下平移3个单位的直线为：y=-2(x+0)+ 5-3,即y=-2x+2;

把y=-2x+5的图象向右平移3个单位再向上平移4个单位为：y=-2(x-3)+ 5+4；

即y=-2x+15

5、函数解析式的确定：

正比例函数y=kx (k≠0)中因为有一个常量k，所以确定其解析式只要一个条件即可。

一次函数y=kx+b (k≠0)中因为有两个常量k,b所以确定其解析式要两个条件。

6、一次函数y=kx+b (k≠0)

关于x轴对称的直线为：y'=-kx-b

关于y轴对称的直线为：y'=-kx+b

关于原点对称的直线为：y'=kx-b

2008-10-8 22:26 回复 寒潭守鹤 90位粉丝 5楼三、反比例函数

1、 叫做反比例函数，它的图象是双曲线。

当k>0时,图像分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；y随x的减小而增大。当x>0时,y>0;当x<0时,y<0;(x≠0)

当k<0时,图像分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大；y随x的减小而减小。当x>0时,y<0;当x<0时,y>0;(x≠0)

2、在反比例函数中，因为有一个常量k，所以解析式的确定只随一个条件即可。

2008-10-8 22:27 回复 寒潭守鹤 90位粉丝 6楼三、反比例函数

1、y=k/x(k≠0)

叫做反比例函数，它的图象是双曲线。

当k>0时,图像分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；y随x的减小而增大。当x>0时,y>0;当x<0时,y<0;(x≠0)

当k<0时,图像分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大；y随x的减小而减小。当x>0时,y<0;当x<0时,y>0;(x≠0)

2、在反比例函数中，因为有一个常量k，所以解析式的确定只随一个条件即可。

2008-10-8 22:28 回复 寒潭守鹤 90位粉丝 7楼四、二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)

1、a确定抛物线的开口方向，｜a｜确定抛物线的形状

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

当｜a｜越大时，开口越小；当｜a｜越小时，开口越大。

2、b确定抛物线对称轴的位置

当对称轴在y轴的左侧时，-b/2a <0;此时ab>0，（a,b同号）；

当对称轴在y轴的右侧时，-b/2a >0;此时ab<0，（a,b异号）;

当对称轴是y轴时，-b/2a =0；此时ab=0。（b=0）

3、c确定抛物线在y轴上的截距

当抛物线与y轴的正半轴相交时，c>0，

当抛物线过原点时，c=0，

当抛物线与y轴的负半轴相交时，c<0，

c叫做抛物线在y轴上的截距（c可以为正数、负数、也可以为0）

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