导数函数单调性的性质是什么

比如说,对于函数f(x)的导数f'(x),如果f'(x)在某一定义域内恒大于或等于零（且不恒为零）,则f(x)在此定义域内单调递增；如果f'(x)在某一定义域内恒小于或等于零（且不恒为零）,则f(x)在此定义域内单调递减

导函数的图象与原函数的图象有关系：

1、导函数图像在x轴上方的部分对应原函数的图像单调上升；

2、导函数图像在x轴下方的部分对应原函数的图像单调下降；

3、导函数图像穿越x轴的位置是原函数的极值点。

如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数。

如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f'(x)为区间[a,b]上的导函数。

扩展资料：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来。

和差积商函数的导函数：

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)

[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]

复合函数的导函数

设 y=u(t) ，t=v(x)，则 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x)

例 ：y = t^2 ，t = sinx ，则y'(x) = 2t cosx = 2sinxcosx = sin2x

参考资料：

（1）若导数大于零，则单调递增，若导数小于零，则单调递减。导数等于零为函数驻点，不一定为极值点，需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零，若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。

求出定义域内导数值等于0的点(驻点)及不可导的点，如两者均不存在，则函数是单调函数；

求出极值点：判断驻点及不可导点左右一阶导数值的正负有无变化，有为极值点（左-右+为极小值点，左+右-为极大值点），无，则不是极值点。也可以通过求二阶导数(一阶导数再对x求导）来判断：将驻点值代入，求出驻点处的二阶导数值，二阶导数值>0,该驻点为极小值点，二阶导数值<0,该驻点为极大值点，二阶导数值=0,该驻点可能不是极值点，需进一步判断。

极小值点左侧为单调递减区间，右侧为单调递增区间，极大值点左侧为单调递增区间，右侧为单调递减区间。类似解不等式的穿针引线法，就可得出极值点（定义域端点）之间单调区间。

利用导数判断函数单调性的步骤如下：

先求出原函数的定义域；对原函数求导；令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数的自变量在其定义区间内增大或减小时，函数值也随着增大或减小，则称该函数为在该区间上具有单调性，即单调增加或单调减少。

答：

f(x)=-ln(1+x)+(xlnx) /(1+x)

求导：

f'(x)=-1/(x+1) +(lnx+1) /(1+x) -(xlnx)/(1+x)²

f'(x)=(lnx) /(1+x)-(xlnx) /(1+x)²

f'(x)=(xlnx+lnx-xlnx) /(1+x)²

f'(x)=(lnx) /(1+x)²

解f'(x)=0得：lnx=0

所以：x=1

因为：定义域满足x>0

所以：

0<x<1时，f'(x)<0，f(x)是单调递减函数

x>1时，f'(x)>0，f(x)是单调递增函数

利用导数判断函数的单调性的方法

利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：

设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。如果，则为常数。

要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点：

导数与函数的单调性的三个关系

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。

1．与为增函数的关系。

由前知，能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。

2．时，与为增函数的关系。

若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。

3．与为增函数的关系。

由前分析，为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，特别是研究以下问题时。

二．函数单调区间的合并

函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。

例用导数求函数（）的单调区间。

解：（用第一种关系及单调区间的合并），当，即或时，∴在，上为增函数，又∵在处连续，且相邻区间的单调性又相同，∴在上为增函数。

旧教材很少提到函数单调区间的合并，原因在于教师很难讲，学生很难把握，但是新教材引进函数的连续性和导数之后就很容易说明，也很容易理解了。

综之，用导数证明划分函数的单调性是导数最常用、也是最基本的应用，其它重要性如极值、最值等都必须用到单调性。它比用单调性的定义证明要简单许多，划分也容易理解得多。讨论可导函数得单调性可按如下步骤进行：

确定的定义域；（2）求，令，解方程求分界点；

（3）用分届点将定义域分成若干个开区间；

（4）判断在每个开区间内的符号，即可确定的单调性。

以下是前几年高考用导数证明、求单调性的题目，举例说明如下：

例1设，是上的偶函数。

（i）求的值；（ii）证明在上是增函数。（2001年天津卷）

解：（i）依题意，对一切有，即，

∴对一切成立，由此得到，，又∵，∴。

（ii）证明：由，得，

当时，有，此时。∴在上是增函数。

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