依概率收敛和以概率1收敛有什么区别

从一个不是很通俗易懂的方式说明一下

先从高数的函数列收敛说起：

1)设fn(x)（n=1,2,3,）和f(x)是定义在区间D上的函数，若对D内任意一点x，都有

fn(x)-->f(x)，则称函数列fn(x)（n=1,2,3,）在D上点点收敛到f(x)

2）但有时对于D上每一点x，都希望函数列fn(x)（n=1,2,3,）收敛到f(x)，这是不现实的，也没有必要的(比如傅里叶级数)

即可以允许在D上的一些点上，函数列fn(x)（n=1,2,3,）不收敛到f(x)，但这样不收敛的点又不能太多，那么不能多于多少才好呢？把不收敛的点放在一起，构成一个集合A，这个集合A“相对于D占的比例”应该可以忽略不计，用数学的严格定义就是说这个集合A的“测度”为0

3）随机变量的本质是映射，其定义域是样本空间，值域是实数R，设Xn（n=1,2,3）与x是定义在同一样本空间的随机变量，那么对样本空间中任意一点s（相当于2）中的x），Xn(s)可能收敛到X(s)，也可能不收敛到X(s)，将不收敛到X(s)的所有s放在一个集合B中，若该集合B的概率是0，即P(B)=0，则称Xn(s)以概率1收敛到X(s)，直观理解就是

在实际中，你能看到的就是

Xn(s)收敛到X(s)，因为Xn(s)不收敛到X(s)是个零概率事件，几乎不可能发生。

依概率收敛的解释：

还是从高数的极限说起：

设数列{an}收敛到a，即，对任意的e>0，存在一个N，当n>N，一定有|an-a|

若Xn，X是随机变量，Xn依概率收敛到X的意义是：

对任意的e>0，存在一个N，当n>N，不一定有|Xn-X|

但是|Xn-X|

依概率收敛是对于随机变量来说的。一个随机变量序列（Xn）n>=1 依概率收敛到某一个随机变量 X ，指的是 Xn 和 X 之间存在一定差距的可能性将会随着n 的增大而趋向于零。

而函数收敛是对于函数来说的。是对于任意的ε>0，存在δ>0,当|x-x0|<δ时有|f（x）-f（x0）|<ε

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